Комбінаторні характеристики категорії зображень напівгрупи S⁰₍₂₂₎

В. М. Бондаренко; О. В. Зубарук

doi:10.24144/2616-7700.2022.40(1).19-26

Автор(и)

В. М. Бондаренко Інститут математики НАН України, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-5064-9452
О. В. Зубарук Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-3620-4262

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2022.40(1).19-26

Ключові слова:

поле, розмірність, напівгрупа і наднапівгрупа, визначальні співвідношення, 2-кільпотентний і 2-потентний елементи, матричні зображення, еквівалентність, категорія, ендоморфізм, стабілізатор, зображувальний тип, алгебра Ауслендера, $\Sigma$-функція

Анотація

Напiвгрупи третього порядку вперше описав у 1953 р. Т. Тамура, а згодом, у 1955 р., за допомогою комп’ютерної програми Г. Е. Форсайт (в термiнах таблиць Келi з точнiстю до iзоморфiзму та антиiзоморфiзму). Мiнiмальнi системи твiрних та вiдповiднi визначальнi спiввiдношення для всiх таких напiвгруп побудованi першим автором разом з Я. В. Зацiхою (2013 р.). Це дало їм змогу, використовуючи методи Київської
школи з теорiї матричних задач, описати матричнi зображення всiх напiвгруп третього порядку над довiльним полем (2018 р.). Вони також описали зображувальний
тип напiвгруп третього порядку (серед них немає диких) i вказали канонiчну форму матричних зображень для напiвгруп скiнченного зображувального типу (тобто таких, якi мають, з точнiстю до еквiвалентностi, скiнченне число нерозкладних зображень).

Автори цієї статті продовжили дослідження в даному напрямку, детально вивчаючи природні наднапівгрупи напівгруп третього порядку (тобто таких, які мають фактор-напівгрупу, ізоморфну напівгрупі третього порядку), особливу увагу приділячи їхнім матричним зображенням. Описується зображувальний тип нових напівгруп (серед яких вже зустрічаються і дикі), досліджуються алгебри Ауслендера (як одна із форм задання категорій зображень) та ідейно пов'язані з ними ∑-функції, тощо.

Зокрема, автори описали зображувальний тип стандартних наднапівгруп напівгрупи третього порядку, породженої двома взаємно анульовними 2-нільпотентним і 2-потентним (ідемпотентним) елементами, тобто комутативної напівгрупи

(0, b, c) = 〈b, c〉 : b² = 0, c² = c, bc = cb = 0

(в круглих дужках вказано всі елементи напівгрупи, а в кутових дужках — мінімальну систему твірних; потім вказано визначальні співвідношення). Серед таких наднапівгруп виділяється напівгрупа S⁰₍₂₂₎ як найменша серед напівгруп

S⁰_(mn) := (0, b, c) = 〈b, c〉 : b^m = 0, cⁿ = c, bc = 0.

де m, n ≥ 2. Напівгрупа S⁰₍₂₂₎ є “проміжною” між вказаною вище комутативною напівгрупою та ручною напівгрупою, породженою 2-нільпотентним і 2-потентним елементами без додаткових визначальних співвідношень.

Напівгрупа S⁰₍₂₂₎ має скінченний зображувальний тип і її нерозкладні зображення описані авторами раніше. У цій статті вивчаються комбінаторні властивості її категорії матричних зображень.

Посилання

Tamura, T. (1953). Some remarks on semi-groups and all types of semi-groups of order 2, 3. J. Gakugei Tokushima Univ., 3, 1–11.

Forsythe, G. E. (1955). SWAC computes 126 distinct semigroups of order 4. Proc. Amer. Math. Soc., 6, 443–447.

Bondarenko, V., & Zaciha, Ja. (2013). Pro vyznachal'ni spivvidnoshennya dlya minimalnykh system tvirnykh napivhrup tret'oho poryadku [On defining relations for minimal generator systems of three-order semigroups]. Science Journal of National Pedagogical Dragomanov University, Series 1: Physics and Mathematics, 14, 62–67 [in Ukrainian].

Bondarenko, V., & Zaciha, Ja. (2018). Kanonichni formy matrychnykh zobrazhen' napivhrup maloho poryadku [Canonical forms of matrix representations of small-order semigroups]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University, ser. of mathematics and informatics, 32(1), 36–49 [in Ukrainian].

Bondarenko, V. M. (1988). Svyazki polutsepnykh mnozhestv i ikh predstavleniya [Bundles of semichained sets and their representations]. (Prepr. / AN USSR. In-t matematiki; 88.60). Kiev [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Drozd, Ju. A. (1977). Predstavlencheskiy tip konechnykh grupp [The representation type of finite groups]. Modules and representations. Zap. Nauch. Sem. LOMI, 71, 24–41 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Zaciha, Ya. V. (2018). Pro matrychni zobrazhennya monoyidiv chetvertoho poryadku [On matrix representations of monoids of the fourth order. On matrix representations of monoids of the fourth order]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University, ser. of mathematics and informatics 33(2), 19–26 [in Ukrainian].

Bondarenko, V. M, Nazarova, L. A., & Zavadskii, A. G. (1979). O predstavleniyakh ruchnykh chastichno uporyadochennykh mnozhestv [Representations of tame partially ordered sets]. Representations and quadratic forms. Akad. Nauk Ukrain. SSR, Inst. Mat., Kiev, 75–106 [in Russian].

Drozd, Ju. A. (1977). O ruchnykh i dikikh matrichnykh zadachakh [Tame and wild matrix problems]. Matrix problems, Akad. NaukUkrain. SSR Inst. Mat., Kiev, 104–114 [in Russian].

Dyachenko, S. M.(2016). Napivhrupy Rissa nad tsyklichnoyu hrupoyu prostoho poryadku skinchennoho zobrazhuval'noho typu [Riss semigroups over a cyclic group of simple order of finite representation type]. Scientific Notes of NaUKMA (Physical and Mathematical Sciences), 178, 23–26 [in Ukrainian].

Nazarova, L. A., Bondarenko, V. M., & Roiter, A. V. (1990). Ruchnyye chastichno uporyadochennyye mnozhestva s involyutsiyey [Tame partially ordered sets with involution]. Trudy Mat. Inst. Steklov, 183 149–159 [in Russian].

Nazarova, L. A., & Roiter, A. V. (1972). Predstavleniya chastichno uporyadochennykh mnozhestv [Representations of partially ordered sets]. Zap. Nauch. Sem. LOMI, 28, 5–31 [in Russian].

Bondarenko, V. M. (2003). Linear operators on S-graded vector spaces. Linear algebra and its applications 365, 45–90.

Bondarenko, V. M., Gerasimova, T. G., & Sergeichuk, V. V. (2009). Pairs of mutually annihilating operators. Linear algebra and its applications, 430(1), 86–105.

Bondarenko, V. M., & Kostyshyn E. M. (2013). On modular representations of semigroups Sₚ × Tₚ. Algebra Discrete Math., 16(1) 16–19.

Bondarenko, V. M., & Tertychna, O. M. (2008). On tame semigroups generated by idempotents with partial null multiplication. Algebra Discrete Math., 4, 15–22.

Bondarenko, V. M., Tertychna, O. M., & Zubaruk, O. V. (2016). On classification of pairs of potent linear operators with the simplest annihilation condition. Algebra Discrete Math., 21(1), 18–23.

Bondarenko, V. M., & Zubaruk, O. V. (2020). Pro matrychni zobrazhennya nadnapivhrup napivhrupy, porodzhenoyi dvoma vzayemno anul'ovnymy idempotentamy [On matrix representations of oversemigroups of a semigroup generated by two mutually annihilating idempotents]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Ser. of mathematics and informatics, 36(1), 7–15 [in Ukrainian].

Zubaruk, O. V. (2020). Pro alhebru Auslendera odniyeyi komutatyvnoyi napivhrupy skinchennoho zobrazhuval'noho typu [On the Auslander algebra of a commutative semigroup of finite representation type]. Applied problems of mech. and math., 18, 43–47 [in Ukrainian].

Bondarenko, V., & Zubaruk, O. (2020). Pro matrychni zobrazhennya nadnapivhrup napivhrupy, porodzhenoyi vzayemno anul'ovnymy 2-potentnym i 2-nil'potentnym elementamy [On matrix representations of oversemigroups of semigroups generated by mutually annihilating 2-potent and 2-nilpotent elements]. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv, Series: Physics & Mathematics, 3, 110–114 [in Ukrainian].

Zubaruk, O. V. (2021). Pro alhebru Auslendera napivhrupy, porodzhenoyi dvoma anul'ovnymy 2-nil'potentnym i 2-potentnym elementamy [On the Auslander algebra of the semigroup generated by two annihilating 2-nilpotent and 2-potent elements]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University, ser. of mathematics and informatics, 38(1), 48–54 [in Ukrainian].

Bondarenko, V., & Zubaruk, O. (2015). ∑-funktsiya chysla parametriv dlya systemy matrychnykh zobrazhen' [∑-function of the number of parameters for the matrix representations system]. Proc. Inst. math. NAS of Ukraine, 12(3), 56–64 [in Russian].