Коефіцієнти транзитивності частково впорядкованих множин найвищого суперкритичного MM-типу - Бондаренко, В. М.; Стойка, М. В.; Стьопочкіна, М. В. (Науковий вісник Ужгородського університету. Серія «Математика і інформатика», 2022)
Зображення частково впорядкованих (скорочено ч. в.) множин, які введені Л. А. Назаровою і А. В. Ройтером (в матричній формі) в 1972 р., відіграють важливу роль в сучасній теорії зображень. У своїй першій праці за цією тематикою М. М. Клейнер довів, що ч. в. множина S має скінченний зображувальний тип (тобто має скінченне число нерозкладних зображень, з точністю до еквівалентності) тоді і лише тоді, коли вона не містить ч. в. підмножин вигляду K1= (1, 1, 1, 1), K2 = (2, 2, 2), K3 = (1, 3, 3), K4 = (1, 2, 5) і K5 = (N, 4). Вказані ч. в. множини називаються критичними ч. в. множин щодо скінченності типу (тобто вони є мінімальними ч. в. множинами з нескінченним числом нерозкладних зображень, з точністю до еквівалентності). Їх також називають (критичними) ч. в. множинами Клейнера. У 1974 р. Ю. А. Дрозд довів, що ч. в. множина S має скінченний зображувальний тип тоді і лише тоді, коли її квадратична форма Тітса є слабко додатною (тобто додатною на множині невід'ємних векторів). Таким чином, ч. в. множини Клейнера є критичними щодо слабкої додатності квадратичної форми Тітса, і інших таких ч. в. множин немає (з точністю до ізоморфізму). У 2005 р. автори довели що ч. в. множина є критичною щодо додатності квадратичної форми Титса тоді і лише тоді, коли вона мінімаксно ізоморфна деякій ч. в. множині Клейнера. Подібну ситуацію маємо з ч. в. множинами ручного зображувального типу. У 1975 р. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множина S є ручною тоді і лише тоді, коли вона не містить ч. в. підмножин вигляду N1 = (1, 1, 1, 1, 1), N2 = (1, 1, 1, 2), N3 = (2, 2, 3), N4 = (1, 3, 4), N5 = (1, 2, 6) і (N, 5). Вона назвала ці ч. в. множини суперкритичними; вони є також критичними щодо слабкої невід'ємності квадратичної форми Тітса. У 2009 році автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невід'ємності квадратичної форми Тітса тоді і лише тоді, коли вона мінімаксно ізоморфна деякій суперкритичній ч. в. множині. У цій статті вивчаються комбінаторні властивості ч. в. множин, мінімаксно ізоморфних суперкритичній ч. в. множині найбільшої висоти, тобто (1, 2, 6). Важливість вивчення мінімаксно ізоморфних ч. в. множин визначається тим фактом, що їх квадратичні форми Тітса ℤ-еквівалентні, а сам мінімаксний ізоморфізм є досить загальною конструктивно визначеною ℤ-еквівалентністю для квадратичних форм Тітса ч. в. множин.