Двочленна асимптотика логарифмічної похідної канонічного добутку з покращеним розподілом нулів

Анотація

Досліджено зв'язок мiж регулярнiстю зростання логарифмічної похідної цілої функції скінченного порядку та покращеним розподiлом її нулiв на додатному промені в термінах двочленної асимптотики. Зокрема, для цілої функції \(f\) порядку \(\rho \in (0;+\infty )\backslash {\mathbb N}\), визначеної канонічним добутком Вейєрштрасcа роду \(p\), рівномірно за \(\varphi \in (0;2\pi )\) встановлено асимптотичне співвідношення вигляду
$$\left|f'(re^{i\varphi } )/f(re^{i\varphi } )-H(\varphi ;\Delta ;\rho )r^{\rho -1}-\right.$$
$$\left. -H_{1} (\varphi ;\Delta _{1} ;\rho _{1} )r^{\rho _{1} -1} \right|\sin (\varphi /2)=o(r^{\rho _{2} -1} ),\ \ r\to +\infty ,$$
за умови покращеної двочленної асимптотики лічильної функції її нулів
$$n(t)=\Delta t^{\rho } +\Delta _{1} t^{\rho _{1} } +o(t^{\rho _{2} } ),\ \ t\to +\infty,$$
де \(\Delta \in (0;+\infty )\), \(\Delta _{1} \in {\mathbb R}\), \(p=[\rho ]<\rho _{2} <\rho _{1} <\rho <p+1\), \(H(\varphi ;\Delta ;\rho )\in L^{1} (0;2\pi )\) і \(H_{1} (\varphi ;\Delta _{1} ;\rho _{1} )\in L^{1} (0;2\pi )\).