Про спадково незвiднi унiмономiальнi зображення циклiчних p-груп над локальними кiльцями характеристики p

Анотація

Задача про опис з точнiстю до еквiвалентностi матричних зображень скiнченних pгруппорядкувище p надкомутативнимлокальнимкiльцемхарактеристики ps (s > 0), що не є полем, мiстить у собi класичну нерозв’язну задачу про пару матриць над полем. Тому актуальним є розгляд частинних випадкiв i вивчення матричних зображень спецiальноговигляду.Нехай K —комутативнекiльцезодиницею, G —скiнченнопородженагрупаздеякоюфiксованоюсистемоютвiрнихелементiв a1,...,ar.Всякематричне зображення групи G над кiльцем K еквiвалентне до Γ : ai → E+Mi (i = 1,...,r), де E — одинична матриця порядку n, Mi — мономiальна матриця порядку n (i = 1,...,r), назвемо унiмономiальним. Звiдне унiмономiальне зображення над кiльцем K, в зведеному виглядi якого на дiагональних блоках утворюється хоч одне унiмономiальне зображення, назвемо спадково звiдним над кiльцем K. Побудовано серiю унiмономiальних зображень скiнченної циклiчної p-група H = hai над комутативним локальним кiльцем K головних iдеалiв характеристики p з нiльпотентностим радикалом Джекобсона ступуня l (1 < l < ∞), вигляду a → E + 0 ... 0 1 1 ... 0 0 . . . ... . . . . . . 0 ... 1 0!·diag[ε1ts1,...,εntsn], де si ≥ 0, εi — елементи iз K∗ (i = 1,...,n), t — твiрний елемент радикалу Джекобсона кiльця K. З’ясовано критерiй, коли вiдображення заданого вигляду задає зображення групи H (P|H|−1 j=0 si+j ≥ l (i = 1,...,n), тут iндекси розглядаються за модулем n). З’ясованодостатнюумовуспадковоїнезвiдностiпобудованихзображень((Pn i=1 si,n) = 1,P n i=1 si < l). Крiм того, можна отримати спадкову звiднiсть побудованих зображень у випадку, коли (Pn i=1 si,n) > 1,Qn i=1 εi = 1). На основi дослiджень Бондаренка В. М., Бортош М. Ю. подiбностi мономiальних матриць з’ясовано критерiй еквiвалентностi побудованих зображень (вiдповiднi послiдовностi (s1,...,sn) циклiчно еквiвалентнi а вiдповiднi добуткиQn i=1 εi рiвнi за модулем Ann(ts), де s — найбiльший член вагової послiдовностi (s1,...,sn)). У випадку скiнченностi кiльця K засобами обчислень в системiGAPпорахованочисловсiх,зточнiстюдоеквiвалентностi,побудованихунiмономiальних спадково незвiднi матричних зображень циклiчної нетривiальної p-групи залежно вiд числа елементiв поля лишкiв кiльця K.