DOI: https://doi.org/10.24144/2616-7700.2019.1(34).26-41

Асимптотична поведiнка розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку з нелiнiйностями рiзного виду

Н. П. Колун

Анотація


У данiй роботi для диференцiального рiвняння другого порядку, яке мiстить у правiй частинi суму доданкiв з правильно та швидко змiнними нелiнiйностями, встановлюються необхiднi та достатнi умови iснування так званих Pω(Y0,λ0) – розв’язкiв (Y0 дорiвнює або нулю, або ±∞, −∞ < a < ω ≤ +∞) в особливому випадку, коли параметр λ0 = ±∞. Також встановлюються асимптотичнi при t ↑ ω зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних першого порядку. Результати роботи отриманi в припущеннi, що на кожному розв’язку iз класу що розглядається права частина дослiджуваного диференцiального рiвняння еквiвалентна при t↑ω одному доданку зi швидко змiнною нелiнiйнiстю. Цей доданок вважається головним у правiй частинi рiвняння. Метод видiлення головного доданку був запропонований Г. Хардi при дослiдженнi диференцiального рiвняння першого порядку. Пiзнiше А.В. Костiн, В.М. Євтухов, Є.В. Шебанiна скористалися таким методом при дослiдженнi асимптотичних властивостей розв’язкiв диференцiальних рiвнянь n-го порядку зi степеневими нелiнiйностями. При вивченнi асимптотичних властивостей множини Pω(Y0,λ0) – розв’язкiв, яка вiдповiдає вказаному значенню параметра λ0, була використана методика, що запропонована В.М. Євтуховим при дослiдженнi разом з А.Г. Черниковою двочленного диференцiального рiвняння зi швидко змiнною нелiнiйнiстю. Робота має теоретичний характер. Отриманi результати та застосована в роботi методика можуть бути використанi для побудови асимптотичної теорiї диференцiальних рiвнянь бiльш загального виду, якi мiстять у правiй частинi суму доданкiв з правильно та швидко змiнними нелiнiйностями.

Ключові слова


асимптотичнi властивостi; диференцiальнi рiвняння другого порядку; швидко змiннi нелiнiйностi

Повний текст:

PDF

Посилання


Evtukhov, E. V., & Kirillova, L. A. (2005). Ob asimptotike reshenij nelinejnykh differencialnikh urovneniy vtoroho poriadka [On the asymptotics of solutions of second-order nonlinear differential equations]. Differential equations, 41(8), 1053-1061.

Kusano, T., Manojlovic, J., & Maric, V. (2011). Increasing solutions of Thomas-Fermi type differential equations – the sublinear case. Bull. T. CXLIII de l’Acad. Serbe des Sci. et des Arts. – Classe des Sciences Mathematiques et Naturelles, Sciences mathematiques, 36, 21-36.

Manojlovic, J., & Maric, V. (2012). An asymptotic analysis of positive solutions of Thomas-Fermi type sublinear differential equations. Mem. Differ. Equat. Math. Phys., 57, 75-94.

Maric, V., & Radasin, Z. (1988). Asymptotic behavior of solutions of the equation y'' = f(t)ϕ(ψ(y)). Glasnik matematicki, 23(43), 27-34.

Maric, V., & Tomic, M. (1980). Asymptotics of solutions of a generalized Thomas-Fermi equations.. J. Differ. Equat., 35(1), 36-44.

Taliaferro, S. D. (1981). Asymptotic behavior of solutions of y'' = ϕ(t)f(y). SIAM J. Math. Anal., 12(6), 853-865.

Maric, V. (2000). Regular variation and differential equations. Lect. Notes Math. Berlin–Heidelberg: Springer–Verlag.

Evtukhov, V. M., & Kharkov, V. M. (2007). Asimptoticheskie predstavleniya resheniy suschestvenno nelineynyih differentsialnyih uravneniy vtorogo poryadka [Asymptotic representations of solutions of essentially nonlinear second-order differential equations]. Differential equations, 43(10), 1311-1323.

Evtukhov, V. M., & Chernikova, A. H. (2016). Asimptotika medlenno menyayuschihsya resheniy obyiknovennyih dvuchlennyih differentsialnyih uravneniy vtorogo poryadka s byistro menyayuscheysya nelineynostyu [Asymptotics of slowly varying solutions of ordinary two-term differential equations of second order with rapidly changing nonlinearity]. Nonlinear oscillations, 19(4), 458-475.

Evtukhov, V. M., & Chernikova, A. H. (2017). Asimptoticheskoe povedenie medlenno menyayuschihsya resheniy obyiknovennyih dvuchlennyih differentsialnyih uravneniy vtorogo poryadka s byistro menyayuscheysya nelineynostyu [Asymptotic behavior of slowly varying solutions of ordinary two-term differential equations of second order with rapidly changing nonlinearity]. Nonlinear oscillations, 20(3), 346-360.

Evtukhov, V. M., & Chernikova, A. H. (2017). Asimptoticheskoe povedenie resheniy obyiknovennyih differentsialnyih uravneniy vtorogo poryadka s byistro menyayuschimisya nelineynostyami [Asymptotic behavior of solutions of ordinary differential equations of second order with rapidly changing nonlinearities]. Ukrainian Mathematical Journal, 69(10), 1345-1363.

Kasianova, V. A. (2009). Asimptoticheskie predstavleniya resheniy neavtonomnyih obyiknovennyih differentsialnyih uravneniy vtorogo poryadka s nelineynostyami, asimptoticheski blizkimi k stepennyim. [Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary second-order differential equations with nonlinearities asymptotically close to power]. Candidate’s thesis.

Evtukhov, V. M. (1997). Asimptoticheskie predstavleniya resheniy neavtonomnyih obyiknovennyih differentsialnyih uravneniy [Asymptotic representations of solutions of nonautonomous ordinary differential equations]. Doctor’s thetis.

Evtukhov, V. M., & Kolun, N. P. (2017). Asimptoticheskie predstavleniya resheniy differentsialnyih uravneniy s pravilno i byistro menyayuschimisya nelineynostyami [Asymptotic representations of solutions of differential equations with correctly and rapidly changing nonlinearities]. Mathematical methods and physical-mechanical fields, 60(1), 32-43.

Evtukhov, V. M., & Kolun, N. P. (2018). Byistro menyayuschiesya resheniya differentsialnogo uravneniya vtorogo poryadka s pravilno i byistro menyayuschimisya nelineynostyami [Fast- varying solutions of the second-order differential equation with correctly and rapidly changing nonlinearities]. Ukrainian Mathematical Bulletin, 15(1), 18-42.

Evtukhov, V. M., & Kolun, N. P. (2017). Asimptotika resheniy differentsialnyih uravneniy vtorogo poryadka s pravilno i byistro menyayuschimisya nelineynostyami [Asymptotics of solutions of second-order differential equations with correctly and rapidly changing nonlinearities]. Nonlinear oscillations, 21(3), 323-346.

Seneta, E. (1985). Pravilno menyayuschiesya funktsii [Properly changing functions]. Moskow: Nauka.

Bingham, N. H., Goldie, C. M., & Teugels, J. L. (1987). Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge: Cambridge university press.

Evtukhov, V. M., & Samoilenko, A. M. (2010). Usloviya suschestvovaniya ischezayuschih v osoboy tochke resheniy u veschestvennyih neavtonomnyih sistem kvazilineynyih differentsialnyih uravneniy [The existence conditions of disappearing at a singular point of solutions in real nonautonomous systems of quasilinear differential equations]. Ukrainian Mathematical Journal, 62(1), 52-80.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Copyright (c) 2019 Н. П. Колун