Критерій перевірки гіпотези про значення параметра Хюрста дробового броунівського руху

Анотація

У данiй роботi розглядається задача перевiрки гiпотези про значення параметра Хюрста дробового броунiвського руху {ξ(t), t ∈ (0, 1)}. Оцiнювання параметра Хюрста дробового броунiвського руху або iндексу самоподiбностi вiдiграє важливу роль у статистицi випадкових процесiв. Запропонований критерiй перевiрки гiпотези про значення параметра Хюрста базується на методi бакстерiвських сум. Застосування методу бакстерiвських сум для випадкових процесiв та полiв дозволяє отримати сильно конзистентнi оцiнки та побудувати неасимптотичнi довiрчi областi без застосування класичних граничних теорем у багатьох моделях.

За спостереженнями випадкового процесу ξ(t) в точках k 2n k = 0, . . . , 2
n − 1, n ≥ 1, побудовано критерiй для перевiрки простої гiпотези про значення параметра Хюрста α дробового броунiвського руху H0 : α = α0 при альтернативнiй гiпотезi H1 : α 6= α0, де α0 < 1. У роботi отримано оцiнку зверху для дисперсiї деякої послiдовностi бакстерiвських сум Sn — суми квадратiв приростiв першого порядку дробового броунiвського руху. Далi, в якостi критерiю Kn перевiрки нульової гiпотези використовується рiзниця мiж деякою бакстерiвською статистикою αˆn = 1 2 1 − log2 Sn n та гiпотетичним значенням параметра α0. Дана статистика є сильно конзистентною оцiнкою параметра Хюрста α. За допомогою бакстерiвських статистик, елементiв теорiї просторiв Орлiча та деякої нерiвностi для квадратичних форм гауссiвської випадкової величини побудовано статистичний критерiй для перевiрки простої гiпотези про значення параметра Хюрста при деякому рiвнi значущостi p > 0.

Нульова гiпотеза не буде вiдхилена, якщо −xp < Kn < xp, де Kn — статистичний критерiй, а xp визначається так, щоб виконувалась нерiвнiсть P {|Kn| > xp} ≤ p. Нерiвнiсть задає множину значень для величини αˆn, якi не приведуть до вiдмови вiд конкретної нульової гiпотези про те, що α = α0. Ця множина значень буде областю прийняття гiпотези при рiвнi значущостi p ∈ (0, 1).