Критерій перевірки гіпотези про значення параметра Хюрста дробового броунівського руху
DOI:
https://doi.org/10.24144/2616-7700.2019.1(34).42-51Ключові слова:
дробовий броунівський рух, параметр Хюрста, бакстерівські суми, коваріаційна функція, критерій перевірки гіпотезиАнотація
У данiй роботi розглядається задача перевiрки гiпотези про значення параметра Хюрста дробового броунiвського руху {ξ(t), t ∈ (0, 1)}. Оцiнювання параметра Хюрста дробового броунiвського руху або iндексу самоподiбностi вiдiграє важливу роль у статистицi випадкових процесiв. Запропонований критерiй перевiрки гiпотези про значення параметра Хюрста базується на методi бакстерiвських сум. Застосування методу бакстерiвських сум для випадкових процесiв та полiв дозволяє отримати сильно конзистентнi оцiнки та побудувати неасимптотичнi довiрчi областi без застосування класичних граничних теорем у багатьох моделях.
За спостереженнями випадкового процесу ξ(t) в точках k 2n k = 0, . . . , 2
n − 1, n ≥ 1, побудовано критерiй для перевiрки простої гiпотези про значення параметра Хюрста α дробового броунiвського руху H0 : α = α0 при альтернативнiй гiпотезi H1 : α 6= α0, де α0 < 1. У роботi отримано оцiнку зверху для дисперсiї деякої послiдовностi бакстерiвських сум Sn — суми квадратiв приростiв першого порядку дробового броунiвського руху. Далi, в якостi критерiю Kn перевiрки нульової гiпотези використовується рiзниця мiж деякою бакстерiвською статистикою αˆn = 1 2 1 − log2 Sn n та гiпотетичним значенням параметра α0. Дана статистика є сильно конзистентною оцiнкою параметра Хюрста α. За допомогою бакстерiвських статистик, елементiв теорiї просторiв Орлiча та деякої нерiвностi для квадратичних форм гауссiвської випадкової величини побудовано статистичний критерiй для перевiрки простої гiпотези про значення параметра Хюрста при деякому рiвнi значущостi p > 0.
Нульова гiпотеза не буде вiдхилена, якщо −xp < Kn < xp, де Kn — статистичний критерiй, а xp визначається так, щоб виконувалась нерiвнiсть P {|Kn| > xp} ≤ p. Нерiвнiсть задає множину значень для величини αˆn, якi не приведуть до вiдмови вiд конкретної нульової гiпотези про те, що α = α0. Ця множина значень буде областю прийняття гiпотези при рiвнi значущостi p ∈ (0, 1).
Посилання
- Poggi, J.–M., & Viano, M.–C. (1998) An estimate of the fractal index using multi–scale aggregates. J. Time Series Anal., 18, 221–233.
- Coeurjolly, J.–F. (2001) Estimating the parameters of a fractional Brownian motion by discrete variations of this sample paths. Stat. Inference for Stoch. Process., 4, 199–207.
- Prakasa Rao, B. L. S. (2010) Statistical Inference for Fractional Diffusion Processes. Chichester: John Wiley Sons.
- Levy, P. (1940) Le mouvement Brownian plan. Amer J. Math., 62, 487–550.
- Baxter, G. (1956) A strong limit theorem for Gaussian processes. Proc. Amer. Math. Soc., 62, 3, 522–527.
- Kurchenko, O. O. (2002) Odna sylno konsystentna otsinka parametra Khiursta drobovoho brounivskoho rukhu [A strongly consistent estimate for the Hurst parameter of fractional Brownian motion]. Teor. Imovir. Mat. Stat. – Theory Probab. Math. Statist., 67, 45–54. [in Ukrainian].
- Breton, J. C., Nourdin, I., & Peccati, G. (2009). Exact confidence intervals for the Hurst parameter of a fractional Brownian motion. Electronic J. Statist., 3, 416–425.
- Kozachenko, Yu. V., Kurchenko, O. O, & Syniavska, O. O. (2018). Teoremy Levi-Bakstera dlia vypadkovykh poliv ta yikh zastosuvannia [The Baxter-Levy theorems for stochastic fields and their applications]. Uzhhorod: Shark [in Ukrainian].
- Ibragimov, I. A., & Rozanov, Y. A. (1970). Gaussovskiye sluchaynyye protsessy [Gaussian random processes]. Moscow: Nauka [in Russian].
- Fikhtengolts, G. M. (1969). Kurs differentsialnogo i integralnogo ischisleniya [A course of differential and integral calculus]. (Vols. 1–3). Moscow: Nauka [in Russian].
- Buldygin, V. V., & Kozachenko, Yu. V. (1998). Metricheskiye kharakteristiki sluchaynykh velichin i protsessov [Metric characterization of random variables and random processes]. Kyiv: TViMS [in Russian].
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2019 О. О. Синявська
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.