Канонiчнi форми матричних зображень комутативних моноїдiв четвертого порядку

В. М. Бондаренко; Я. В. Зацiха

doi:10.24144/2616-7700.2019.1(34).12-25

Автор(и)

В. М. Бондаренко Iнститут математики НАН України, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-5064-9452
Я. В. Зацiха Iнститут математики НАН України, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-7792-5381

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2019.1(34).12-25

Ключові слова:

визначальнi спiввiдношення, приєднана та неприєднана одиниця, матричнi зображення, ручний моноїд, моноїд скiнченного та нескiнченного типiв, канонiчна форма

Анотація

Матричнi зображення скiнченних напiвгруп над полями вивченi не так добре, як скiнченних груп; зокрема, для груп, на вiдмiну вiд напiвгруп, отримано критерiй ручностi (В. М. Бондаренко, Ю. А. Дрозд). Якщо говорити про опис нерозкладних зображень напiвгруп, то слiд видiлити деякi окремi результати про цiлком простi напiвгрупи (I. С. Понiзовский) та напiвгрупи всiх перетворень скiнченної множини (I. С. Понiзовский i К. Рiнгель, у випадку скiнченного зображувального типу) i для напiвгруп Рiсса (С. М. Дяченко) та напiвгруп, породжених iдемпотентами з частковим нульовим множенням (В. М. Бондаренко, О. М. Тертична, як у випадку скiнченного типу, так i ручного нескiнченного типу). Опис зображень мономiальної алгебри < a,b|ab = ba = 0 > (I. М. Гельфанд, В. А. Пономарьов) i мономiальної алгебри < a,b|a 2 = b 2 = 0 > (В. М. Бондаренко i К. Рiнгель) також природно розглядати як результати про зображення напiвгруп.

Ця стаття присвячена знаходженню канонiчних форм матричних зображень над довiльним полем для напiвгруп малого порядку.

Напiвгрупи порядку n < 4 вивченi досить детально. Випадки n = 1,2 є тривiальними. Напiвгрупи порядку n = 3 описав Т. Тамура, у виглядi таблиць Келi, ще в 1953 р. (пiд описом, традицiйно, мається на увазi опис з точнiстю до iзоморфiзму та дуальностi). Напiвгрупи, що розглядаються з такою точнiстю, називаються рiзними.

У попереднiх роботах автори описали напiвгрупи третього порядку i некомутативнi моноїди четвертого порядку, якi мають скiнченний зображувальний тип над полем. Для всiх таких напiвгруп вказана канонiчна форма їх матричних зображень. При цьому для кожної напiвгрупи вказана мiнiмальна система твiрних i вiдповiднi визначальнi спiввiдношення.

У цiй роботi аналогiчнi результати отримано для комутативних моноїдiв четвертого порядку.

Посилання

Bondarenko, V. M., & Zaciha, Ja. V. (2018). Pro matrychni zobrazhennya monoyidiv chetvertoho poryadku [On matrix representations of monoids of the fourth order]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University, ser. of mathematics, 33, 2, 19–26. [in Ukrainian]

Tamura, T. (1953). Some remarks on semi-groups and all types of semi-groups of order 2, 3. J. Gakugei Tokushima Univ. 3, 1–11.

Bondarenko, V. M., & Zaciha, Ja. V. (2013). Pro vyznachalni spivvidnoshennya dlya minimalnykh system tvirnykh napivhrup tretoho poryadku [On the defining relations for the minimal

systems of generators of the third order semigroup]. Scientific journal of NPU named after M. P. Drahomanov, Series 1, Physics and Mathematics, 14, 62–67. [in Ukrainian]

Chotchaisthit, S. (2014). Simple proofs determining all nonisomorphic semigroups of order 3. Appl. Math. Sci. (Ruse), 8, 1261–1269.

Bondarenko, V. M., & Zaciha, Ya. V. (2015). On characteristic properties of semigroups. Algebra Discrete Math., 20, 1, 32–39.

Tamura, T. (1954). Notes on finite semigroups and determination of semigroups of order 4. J. Gakugei Tokushima Univ., 5, 17–27.

Forsythe, G. E. (1955). SWAC computes 126 distinct semigroups of order 4. Proc. Amer. Math. Soc., 6, 443–447.

Bondarenko, V. M., & Zaciha, Ja. V. (2018). Kanonichni formy matrychnykh zobrazhen napivhrup maloho poryadku [Canonical forms of matrix representations of semigroups of small order]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University, ser. of mathematics, 32, 1, 36–49. [in Ukrainian]

Bondarenko, V. M., & Zaciha, Ja. V. (2017). Pro kombinatorni vlastyvosti napivhrup chetvertoho poryadku [On combinatorial properties of the semigroups of the fourth order]. Scientific

Bulletin of Uzhhorod University, ser. of mathematics, 30, 1, 25–31. [in Ukrainian]

Bondarenko, V. M., & Kostyshyn, E. M. (2011). Modulyarni zobrazhennya napivhrupy T 2 [Modular representations of the semigroup T 2 ]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University, ser.

of mathematics, 22, 1, 26–34. [in Ukrainian]

Drozd, Yu. A. (1977). O ruchnykh i dikikh matrichnykh zadachakh [On tame and wild matrix problems]. Matrix problems, Kyiv: Istitute of mathematics of AN of Ukr. SSR, 104–114. [in Russian]