Оцiнювання параметрiв дробового броунiвського руху за спостереженнями з похибками та iнтервали надiйностi
DOI:
https://doi.org/10.24144/2616-7700.2019.2(35).7-18Ключові слова:
дробовий броунівський рух, параметр Хюрста, конзистентна оцінка, довірчі інтервали, бакстерівські сумиАнотація
Нехай $B_{H}(t), t\in\mathbb{R}$ -- випадковий процес дробового броунівського руху з нульовим математичним сподіванням та коваріаційною функцією
$$r(s,t)=\frac{c}{2}(|s|^{2H}+|t|^{2H}-|s-t|^{2H}), s,
t\in\mathbb{R}$$
з параметрами $c,$ $H,$ де $c>0,$ $H\in(0,1)$ --
параметр Хюрста. У цій роботі побудовані конзистентні оцінки параметра $c$ та параметра Хюрста $H$ за спостереженнями дробового броунівського руху у моменти часу $k+\frac{1}{2}$, де $k$ -- натуральне число з адитивними похибками. Припускається, що похибки утворюють послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з нульовим математичним сподіванням та дисперсією $\sigma^{2}$. Ця послідовність випадкових величин незалежна від дробового броунівського руху $B_{H}(t),$
$t\in\mathbb{R}.$ Через $\tilde{B}_{H}(k),$ $\tilde{B}_{H}(k+\frac{1}{2})$ позначимо спостереження випадкового процесу $B_{H}(t)$ у точках $k,$ $k+\frac{1}{2},$ $k\in\mathbb{N}$ з адитивними похибками. Для отримання конзистентних оцінок параметрів $c,$ $H$ застосовані статистики, побудовані за допомогою приростів першого та другого порядків послідовності випадкових величин $(\tilde{B}_{H}(k),k\geq1)$:
$$S_{n}^{(1)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(\tilde{B}_{H}(k+1)-\tilde{B}_{H}(k))^{2},$$
$$S_{n}^{(2)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\tilde{B}_{H}(k+1)-2\tilde{B}_{H}\left(k+\frac{1}{2}\right)+\tilde{B}_{H}(k)\right)^{2},
n\geq1.$$
Для підрахунку дисперсій випадкових величин $S_{n}^{(1)},$ $S_{n}^{(2)}$ застосована формула Іссерліса, що має місце для випадкових величин, що мають сумісний гауссовий розподіл з нульовим середнім. Застосування цієї формули можливо завдяки гауссовості дробового броунівського руху та похибок спостережень.
Нехай відомо, що параметр Хюрста $H$ належить проміжку $H\in\left(0,H^{*}\right]$, де $H^{*}\in(0,1),$ -- фіксоване число, натуральне число $q$ задовольняє нерівність $q>\frac{1}{4-4H^{*}}.$ Тоді статистики $\hat{c}_{n}=A_{n},$ $\hat{H}_{n}=1-\frac{1}{2}\log_{2}\left(1+\frac{B_{n}}{A_{n}}\right),$ де $A_{n}=S_{n^{q}}^{(1)}-2\sigma^{2},$ $B_{n}=S_{n^{q}}^{(2)}-6\sigma^{2}$ є строго конзистентними оцінками параметрів $c,$ $H$. Для доведення строгої конзистентності оцінок у статті отримані оцінки зверху дисперсій $Var S_{n}^{(1)},$ $Var S_{n}^{(2)}$. Оцінка дисперсії $Var S_{n}^{(1)}$ залежить від $H^{*}:$
\begin{eqnarray*}
Var
S_{n}^{(1)}\leq\frac{2(c+2\sigma^{2})^{2}}{n}+\frac{4(c+2\sigma^{2})^{2}}{n}+\frac{4c_{1}^{2}}{n}
\begin{cases}
\zeta(4-4H^{*}), H^{*}<\frac{3}{4};\\
1+\ln n, H^{*}=\frac{3}{4};\\
\frac{n^{4H^{*}-3}}{4H^{*}-3}, H^{*}\in(\frac{3}{4},1),
\end{cases}
\end{eqnarray*}
де $c_{1}=\max(\frac{1}{4},2H^{*}(2H^{*}-1)),$
$$\zeta(s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\cdots+\frac{1}{n^{s}}+\cdots, s>1$$
-- дзета функція, тоді як $Var S_{n}^{(2)}=O\left(\frac{1}{n}\right),$ $n\to\infty$ для всіх значень $H^{*}\in(0,1)$.
У роботі побудовані інтервали надійності з заданим коефіцієнтом надійності $1-\varepsilon$ для параметрів $c,$ $H$. Для побудови інтервалів надійності використані оцінки зверху дисперсій $Var S_{n}^{(1)},$ $Var S_{n}^{(2)}$.
Посилання
- Kurchenko O. O. Confidence intervals and rate of convergence for the estimates of Hurst parameter of FBM. Theory Stoch. Process. 2002. Vol. 8(24). P. 242–248.
- Kurchenko O. O. One strong consistency estimate of the Hurst parameter of the fractional Brownian motion. Theory Probab. Math. Statist. 2002. no. 67. P. 88–96. [in Ukrainian]
- Breton J. C. Exact confidence intervals for the Hurst parameter of a fractional Brownian motion. Electronic Journal of Statistics. 2009. Vol. 3. P. 416–425.
- Prakasa Rao B. L. S., Statistical Inference for Fractional Diffusion Processes. Chichester: John Wiley Sons, 2010. 280 p
- Aiubova N. S., Kurchenko O. O. Estimation of the Hurst parameter of fractional Brownian motion in a model of real observations. Scientific Bulletin of Kyiv National Taras Shevchenko University. Series Maths. And Mech. 2017. no. 2(38). P. 18–23. [in Ukrainian]
- Kukush A., Likhtarov I., Masiuk S., Chepurny M., Shklyar S. Regression model with measurement errors and their application for estimation of radiation risk. Kyiv, 2015. 288 p. [in Ukrainian]
- Synyavska O. O. Interval estimation of the fractional Brownian motion parameter in a model with measurement error. Theory Stoch. Process. 2016. Vol. 21(37). P. 84–90.
- Aiubova N. S. Estimation of the Hurst parameter of fractional Brownian motion in a model with measurement error. Scientific Bulletin of Uzhgorod University. Series Maths. And Informatics 2017. no. 2 (31). P. 10–14. [in Ukrainian]
- Dozzi M, Mishura Y, Shevchenko G. Asymptotic behavior of mixed power variations and statistical estimation in mixed models. Statistical Inference for Stochastic Processes, Springer Verlag. 2015. Vol. 18(2). P. 151–175.
- Isserlis L. On a formula for the product-moment coefficient of any order of a normal frequency distribution in any number of variables. Biometrika. 1918. Vol. 12. P. 134–139.
- Lamperti J. Random processes. Kiev: Vyshcha shkola 1983. 227 p. [in Russian]
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2019 Н. С. Аюбова
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.