Оцiнювання параметрiв дробового броунiвського руху за спостереженнями з похибками та iнтервали надiйностi

Анотація

Нехай $B_{H}(t), t\in\mathbb{R}$ -- випадковий процес дробового броунівського руху з нульовим математичним сподіванням та коваріаційною функцією

$$r(s,t)=\frac{c}{2}(|s|^{2H}+|t|^{2H}-|s-t|^{2H}), s,
t\in\mathbb{R}$$

з параметрами $c,$ $H,$ де $c>0,$ $H\in(0,1)$ --
параметр Хюрста. У цій роботі побудовані конзистентні оцінки параметра $c$ та параметра Хюрста $H$ за спостереженнями дробового броунівського руху у моменти часу $k+\frac{1}{2}$, де $k$ -- натуральне число з адитивними похибками. Припускається, що похибки утворюють послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин з нульовим математичним сподіванням та дисперсією $\sigma^{2}$. Ця послідовність випадкових величин незалежна від дробового броунівського руху $B_{H}(t),$
$t\in\mathbb{R}.$ Через $\tilde{B}_{H}(k),$ $\tilde{B}_{H}(k+\frac{1}{2})$ позначимо спостереження випадкового процесу $B_{H}(t)$ у точках $k,$ $k+\frac{1}{2},$ $k\in\mathbb{N}$ з адитивними похибками. Для отримання конзистентних оцінок параметрів $c,$ $H$ застосовані статистики, побудовані за допомогою приростів першого та другого порядків послідовності випадкових величин $(\tilde{B}_{H}(k),k\geq1)$:

$$S_{n}^{(1)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(\tilde{B}_{H}(k+1)-\tilde{B}_{H}(k))^{2},$$

$$S_{n}^{(2)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\tilde{B}_{H}(k+1)-2\tilde{B}_{H}\left(k+\frac{1}{2}\right)+\tilde{B}_{H}(k)\right)^{2},
n\geq1.$$

Для підрахунку дисперсій випадкових величин $S_{n}^{(1)},$ $S_{n}^{(2)}$ застосована формула Іссерліса, що має місце для випадкових величин, що мають сумісний гауссовий розподіл з нульовим середнім. Застосування цієї формули можливо завдяки гауссовості дробового броунівського руху та похибок спостережень. 

Нехай відомо, що параметр Хюрста $H$ належить проміжку $H\in\left(0,H^{*}\right]$, де $H^{*}\in(0,1),$ -- фіксоване число, натуральне число $q$ задовольняє нерівність $q>\frac{1}{4-4H^{*}}.$ Тоді статистики $\hat{c}_{n}=A_{n},$ $\hat{H}_{n}=1-\frac{1}{2}\log_{2}\left(1+\frac{B_{n}}{A_{n}}\right),$ де $A_{n}=S_{n^{q}}^{(1)}-2\sigma^{2},$ $B_{n}=S_{n^{q}}^{(2)}-6\sigma^{2}$ є строго конзистентними оцінками параметрів $c,$ $H$. Для доведення строгої конзистентності оцінок у статті отримані оцінки зверху дисперсій $Var S_{n}^{(1)},$ $Var S_{n}^{(2)}$. Оцінка дисперсії $Var S_{n}^{(1)}$ залежить від $H^{*}:$

\begin{eqnarray*}
Var
S_{n}^{(1)}\leq\frac{2(c+2\sigma^{2})^{2}}{n}+\frac{4(c+2\sigma^{2})^{2}}{n}+\frac{4c_{1}^{2}}{n}
\begin{cases}
\zeta(4-4H^{*}), H^{*}<\frac{3}{4};\\
1+\ln n, H^{*}=\frac{3}{4};\\
\frac{n^{4H^{*}-3}}{4H^{*}-3}, H^{*}\in(\frac{3}{4},1),
\end{cases}
\end{eqnarray*}

де $c_{1}=\max(\frac{1}{4},2H^{*}(2H^{*}-1)),$

$$\zeta(s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\cdots+\frac{1}{n^{s}}+\cdots, s>1$$

-- дзета функція, тоді як $Var S_{n}^{(2)}=O\left(\frac{1}{n}\right),$ $n\to\infty$ для всіх значень $H^{*}\in(0,1)$.

У роботі побудовані інтервали надійності з заданим коефіцієнтом надійності $1-\varepsilon$ для параметрів $c,$ $H$. Для побудови інтервалів надійності використані оцінки зверху дисперсій $Var S_{n}^{(1)},$ $Var S_{n}^{(2)}$.