Незвiднiсть однiєї матрицi 8-го прядку над локальними кiльцями довжини бiльше 2

Анотація

Розглядаються квадратнi матрицi, вигляду 

\left(
\begin{smallmatrix}
0&\ldots&0&1\\
1&\ldots&0&0\\[-0.4em]
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&\ldots&1&0\\
\end{smallmatrix}\right)\cdot \mbox{diag}[\overbrace{1,\ldots,1}^k,t,\ldots,t],

де k — натуральне число менше порядку матрицi, над комутативним локальним кiльцем радикал Джекобсона якого є головним iдеалом породженим елементом t. Вiдомо, що для k не взаємно простого з порядком матрицi всi розглядуванi матрицi звiднi. Якщо радикал ненульовий, то всi розглядуванi матрицi з k = 1 або k на одиницю менше порядку матрицi незвiднi а всi розглядуванi матрицi порядку менше 7 незвiднi тодi i тiльки тодi, коли k взаємно просте з порядком матрицi. Якщо ступiнь нiльпотентностi радикала 2, то матрицi M(t,3,7), M(t,4,7) є звiднi. Якщо радикал не нiльпотентний, або ступiнь нiльпотентностi радикала вище 2, то всi розглядуванi матрицi порядку менше 8 незвiднi тодi i тiльки тодi, коли k взаємно просте з порядком матрицi. Вiдомо, отже, що M(t,1,8), M(t,7,8) є незвiднi а M(t,2,8), M(t,4,8), M(t,6,8) є звiднi. В роботi показано незвiднiсть матрицi M(t,5,8). Крiм того, для довiльного комутативного локального кiльця з ненульовим радикалом, породженим елементом t, у випадку подiбностi розглядуваних матриць довiльного порядку до

\left(
\begin{smallmatrix}
D&B\\
0&A
\end{smallmatrix}
\right)\!

, (тобто їх звiдностi) описується вигляд, до якого подiбна квадратна матриця D. В цьому випадку, порядок D не менше 2 а всi стовпцi, окрiм можливо одного, який складається з усiх елементiв
кратних t, одержаного вигляду мiстять рiвно один ненульовий елемент рiвний 1 або добутку t на оборотнiй множник. Для доведення незвiдностi матрицi M(t,5,8) показано, що подiбнiсть до матрицi ( D B
0 A ), за 6 можливими випадками знайденого вигляду D неможливi. Випадки класифiковано за кiлькiстю одиниць та порядком матрицi D
вiд 2 до 4. А також показано, що неможливiсть подiбностi в iнших випадках зводиться до розглянутих.