Локальні майже-кільця на елементарних абелевих групах порядку p^3
DOI:
https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.38(1).85-93Ключові слова:
майже-кiльце, локальне майже-кiльце, елементарна абелева групаАнотація
Майже-кільця виникають природним чином при вивченні систем нелінійних відображень і вивчаються протягом багатьох десятиліть. Основні визначення та багато результатів стосовно майже-кілець можна знайти, наприклад, у [G.~Pilz. Near-rings. The theory and its applications. North Holland, Amsterdam, 1977].
Майже-кільця - це узагальнення кілець в тому сенсі, що додавання не обов'язково є комутативним і передбачається лише один дистрибутивний закон. Очевидно, що кожне асоціативне кільце є майже-кілець, і кожна група є адитивною групою майже-кільця, але не обов'язково майже-кільця з одиницею. Питання про те, яка група може бути адитивною групою майже-кільця з одиницею, далеке від вирішення.
Майже-кільце R з одиницею називається локальним, якщо підгрупа усіх необоротних елементів із R утворює підгрупу адитивної групи R. Дослідження локальних майже-кілець було ініційовано Мексоном (1968), який визначив ряд їх основних властивостей і, зокрема, довів, що адитивна група нуль-симетричного локального майже-кільця є p-групою. Мексон (1968) описав усі неізоморфні нуль-симетричні локальні майже-кільця з нециклічною адитивною групою порядку p2, які не є майже-полями. Мексон у 1968 р. також показав, що кожна нециклічна абелева p-група порядку pn>4 є адитивною групою нуль-симетричного локального майже-кільця, яке не є кільцем.
Список усіх локальних майже-кілець порядку не більше 31 можна отримати з пакету SONATA (https://gap-packages.github.io/sonata/) системи комп'ютерної алгебри GAP (https://www.gap-system.org/). Однак класифікація майже-кілець вищих порядків вимагає набагато складніших обчислень. Для локальних майже-кілець вони були реалізовані в новому GAP-пакеті LocalNR (https://gap-packages.github.io/LocalNR). Поточна версія (ще не розповсюджена за допомогою GAP) містить 37599 локальних майже-кілець порядку не більше 361, за винятком порядків 128, 256 і деяких порядків 32, 64 і 243.
Ця робота присвячена дослідженню локальних майже-кілець з елементарними абелевими адитивними групами порядку p3.
Посилання
- Maxson, C. J. (1968). On local near-rings.Math. Z., 106, 197-205.
- Maxson, C. J. (1968). Local near-rings of cardinality p^2.Canad. Math. Bull., 11(4), 555-561.
- Zassenhaus, H. (1935/36). Über endliche Fastkörper.Abh. Math. Sem., Univ. Hamburg, 11, 187-220.
- Maxson, C. J. (1970). On the construction of finite local near-rings (I): on non-cyclic abelian p-groups. Quart. J. Math. Oxford (2), 21, 449-457.
- Clay, J. R., & Malone, Jr. (1966). The near-rings with identities on certain finite groups. Math.Scand., 19, 146-150.
- Hall, M. Jr. (1959). The theory of groups. New York: MacMillan Company.
- Raievska, I. Yu., & Raievska, M. Yu. (2013). Local nearrings with restrictions on the multi-plicative groups and the subgroups of non-invertible elements.Sci. Journ. Dragomanov Ped.Univ. Ser. 1. Phys. – math. sci. (Kiev), 14, 134-145 [in Ukrainian].
- The GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming (Version 4.11.0). (2020). Retrieved from https://www.gap-system.org.
- Aichinger, E., Binder, F., Ecker, Ju., Mayr, P. & Noebauer, C. (2015). SONATA —System of nearrings and their applications (Version 2.8) [GAP package]. Retrieved from https://gap-packages.github.io/sonata/.
- Raievska, I., Raievska, M., & Sysak, Y. (2021). LocalNR, Package of local nearrings (Version1.0.3) [GAP package]. Retrieved from https://gap-packages.github.io.
- Rump, W. (2019). Set-theoretic solutions to the Yang-Baxter equation, skew-braces, and re-lated near-rings. J.Algebra Appl., 18(8), 1950145.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2021 Марина Раєвська, Ірина Раєвська
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.