Локальні майже-кільця на елементарних абелевих групах порядку p^3

I. Ю. Раєвська; М. Ю. Раєвська

doi:10.24144/2616-7700.2021.38(1).85-93

Автор(и)

I. Ю. Раєвська Інститут математики НАН України, Україна https://orcid.org/0000-0002-6764-480X
М. Ю. Раєвська Інститут математики НАН України, Україна https://orcid.org/0000-0002-6135-7818

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.38(1).85-93

Ключові слова:

майже-кiльце, локальне майже-кiльце, елементарна абелева група

Анотація

Майже-кільця виникають природним чином при вивченні систем нелінійних відображень і вивчаються протягом багатьох десятиліть. Основні визначення та багато результатів стосовно майже-кілець можна знайти, наприклад, у [G.~Pilz. Near-rings. The theory and its applications. North Holland, Amsterdam, 1977].

Майже-кільця - це узагальнення кілець в тому сенсі, що додавання не обов'язково є комутативним і передбачається лише один дистрибутивний закон. Очевидно, що кожне асоціативне кільце є майже-кілець, і кожна група є адитивною групою майже-кільця, але не обов'язково майже-кільця з одиницею. Питання про те, яка група може бути адитивною групою майже-кільця з одиницею, далеке від вирішення.

Майже-кільце R з одиницею називається локальним, якщо підгрупа усіх необоротних елементів із R утворює підгрупу адитивної групи R. Дослідження локальних майже-кілець було ініційовано Мексоном (1968), який визначив ряд їх основних властивостей і, зокрема, довів, що адитивна група нуль-симетричного локального майже-кільця є p-групою. Мексон (1968) описав усі неізоморфні нуль-симетричні локальні майже-кільця з нециклічною адитивною групою порядку p², які не є майже-полями. Мексон у 1968 р. також показав, що кожна нециклічна абелева p-група порядку pⁿ>4 є адитивною групою нуль-симетричного локального майже-кільця, яке не є кільцем.

Список усіх локальних майже-кілець порядку не більше 31 можна отримати з пакету SONATA (https://gap-packages.github.io/sonata/) системи комп'ютерної алгебри GAP (https://www.gap-system.org/). Однак класифікація майже-кілець вищих порядків вимагає набагато складніших обчислень. Для локальних майже-кілець вони були реалізовані в новому GAP-пакеті LocalNR (https://gap-packages.github.io/LocalNR). Поточна версія (ще не розповсюджена за допомогою GAP) містить 37599 локальних майже-кілець порядку не більше 361, за винятком порядків 128, 256 і деяких порядків 32, 64 і 243.

Ця робота присвячена дослідженню локальних майже-кілець з елементарними абелевими адитивними групами порядку p³.

Посилання

Maxson, C. J. (1968). On local near-rings.Math. Z., 106, 197-205.

Maxson, C. J. (1968). Local near-rings of cardinality p^2.Canad. Math. Bull., 11(4), 555-561.

Zassenhaus, H. (1935/36). Über endliche Fastkörper.Abh. Math. Sem., Univ. Hamburg, 11, 187-220.

Maxson, C. J. (1970). On the construction of finite local near-rings (I): on non-cyclic abelian p-groups. Quart. J. Math. Oxford (2), 21, 449-457.

Clay, J. R., & Malone, Jr. (1966). The near-rings with identities on certain finite groups. Math.Scand., 19, 146-150.

Hall, M. Jr. (1959). The theory of groups. New York: MacMillan Company.

Raievska, I. Yu., & Raievska, M. Yu. (2013). Local nearrings with restrictions on the multi-plicative groups and the subgroups of non-invertible elements.Sci. Journ. Dragomanov Ped.Univ. Ser. 1. Phys. – math. sci. (Kiev), 14, 134-145 [in Ukrainian].

The GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming (Version 4.11.0). (2020). Retrieved from https://www.gap-system.org.

Aichinger, E., Binder, F., Ecker, Ju., Mayr, P. & Noebauer, C. (2015). SONATA —System of nearrings and their applications (Version 2.8) [GAP package]. Retrieved from https://gap-packages.github.io/sonata/.

Raievska, I., Raievska, M., & Sysak, Y. (2021). LocalNR, Package of local nearrings (Version1.0.3) [GAP package]. Retrieved from https://gap-packages.github.io.

Rump, W. (2019). Set-theoretic solutions to the Yang-Baxter equation, skew-braces, and re-lated near-rings. J.Algebra Appl., 18(8), 1950145.