Про частково впорядковані множини шостого порядку, що мають надсуперкритичний MM-тип

В. М. Бондаренко; М. В. Стьопочкiна

doi:10.24144/2616-7700.2021.38(1).7-15

Автор(и)

В. М. Бондаренко Інститут математики НАН України, Україна https://orcid.org/0000-0002-5064-9452
М. В. Стьопочкiна Поліський національний університет, Україна https://orcid.org/0000-0002-7270-9874

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.38(1).7-15

Ключові слова:

зображення, критична та суперкритична ч. в. множина, надсупер-критична ч. в. множина, квадратична форма Тiтса, кiнченний i ручний зображувальний тип, додатнiсть i слабка додатність, негативнiсть i слабка негативнiсть

Анотація

Зображення ч. в. множин (частково впорядкованих множин) ввели Л. А. Назароваi А. В. Ройтер в 1972 р. В тому ж роцi М. М. Клейнер довiв, що ч. в. множинаSмаєскiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли вони не мiстить ч. в. пiдмно-жин вигляду K₁= (1,1,1,1), K₂= (2,2,2), K₃= (1,3,3), K₄= (1,2,5) i K₅= (N,4). Цi ч. в. множин називаються критичними ч. в. множин щодо скiнченностстi типу(в тому сенсi, що це мiнiмальнi ч. в. множин з нескiнченною кiлькiстю нерозкладних зображень, з точнiстю до еквiвалентностi) або ч. в. множинами Клейнера. У 1974 роцi Ю. А. Дрозд довiв, що ч. в. множинаSмає скiнченний зображувальний тип тодi iлише тодi, коли її квадратична форма Тiтса

є слабко додатною (тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв). Отже, ч. в. множини Клейнера є критичними щодо слабкої додатностi квадратичної форми Тiтса,i iнших таких ч. в. множин немає (з точнiстю до iзоморфiзму). У 2005 роцi автори довели що ч. в. множин є критичною щодо додатностi квадратичної форми Титса тодii лише тодi, коли вона є мiнiмаксно iзоморфна деякiй ч. в. множинi Клейнера.

Подiбну ситуацiю маємо з ч. в. множинами ручного зображувального типу. У 1975р. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множинаSє ручною тодi i лише тодi, коли вона не мiстить ч. в. пiдмножин вигляду N₁= (1,1,1,1,1), N₂= (1,1,1,2), N₃= (2,2,3), N₄= (1,3,4), N₅= (1,2,6) i (N,5). Вона назвала цi ч. в. множини суперкритичними; вони є критичними щодо слабкої невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса, i iншихтаких ч. в. множин немає. У 2009 роцi автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона мiнiмаксноiзоморфна деякiй суперкритичнiй ч. в. множинi.

Перший автор запропонував ввести ч. в. множини (названi надсуперкритичними),якi вiдрiзняються вiд суперкритичних ч. в. множин в тiй самiй мiрi, що i останнi вiд-рiзняються вiд критичних. Серед цих ч. в. множин є чотири найменшого порядку,а саме 6. У цiй статтi ми описуємо всi ч. в. множини мiнiмаксно еквiвалентнi їм, i вивчаємо деякi їхнi комбiнаторнi властивостi. Важливiсть вивчення мiнiмаксно iзоморфних ч. в. множин визначається тим фактом, що їх квадратичнi форми Тiтса Z-еквiвалентнi, а сам мiнiмаксний iзоморфiзм є досить загальною конструктивно визначеною Z-еквiвалентнiстю для квадратичних форм Тiтса ч. в. множин.

Посилання

Kleiner, M.M. (1972). Partially ordered sets of finite type. Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 28, 32–41 [in Russian].

Drozd, Yu.A. (1974). Coxeter transformations and representations of partially ordered sets. Funktsional. Anal. i Prilozhen., 8, 3, 34–42 [in Russian].

Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2005). (Min, max)-equivalence of partially ordered sets and the Tits quadratic form. Problems of Analysis and Algebra: Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr., 2, 3, 18-58 [in Russian].

Bondarenko, V.M. (2005). On (min, max)-equivalence of posets and applications to the Tits forms. Bull. of Taras Shevchenko University of Kyiv. (series: Physics & Mathematics), 1, 24–25 [in Russian].

Nazarova, L.A. (1975). Partially ordered sets of infinite type. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 39, 5, 963–991 [in Russian].

Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2008). (Min, max)-equivalence of posets and nonnegative Tits forms. Ukr. Math. J. 60, No. 9, 1157–1167 [in Russian].

Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2009). Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form. Ukr. Math. J., 61, 5, 611-624 [in Russian].

Bondarenko, V.V., Bondarenko, V.M., Styopochkina, M.V., & Chervyakov, I.V. (2011). 1-oversupercritical partially ordered sets with trivial group of utomorphisms and minequivalence. I. Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform, 22, 2, 17–25 [in Russian].

Bondarenko, V.V., & Styopochkina, M.V. (2013). Non-primitive 1-oversupercritical partially ordered set and min-equivalence. Scien. J. of NPU named after Dragomanov. Series 1. Phys.-Math. sciences, 14, 55–61 [in Russian].

Styopochkina, M.V., & Chervyakov, I.V. (2015) The number of partially ordered sets, (min, max)-equivalent to the set (1, 2, 7). Applied problems of mech. and math., 13, 18–21 [in Ukrainian].

Styopochkina, M.V., & Chervyakov, I. V. (2016). The number of partially ordered sets, (min, max)-equivalent to the 1-oversupercritical partially ordered set (1, 3, 5). Applied problems of mech. and math., 14, 12–15 [in Ukrainian].

Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2018). On properties of posets of MM-type (1,3,5). Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform, 32, 1, 50–53.

Bondarenko, V.M., Orlovskaja, Yu.M., & Styopochkina, M.V. (2018). On Hasse diagrams connected with the 1-oversupercritical poset (1,3,5). Applied problems of mech. and math.,16, 30–32.

Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2019). On properties of posets of MM-type (1, 2, 7). Applied problems of mech. and math., 17, 7–10.

Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2017). Coefficients of transitiveness of P-critical posets. Proc. Inst. Math. of NAS of Ukraine, 14, 1, 46–51.