Про частково впорядковані множини шостого порядку, що мають надсуперкритичний MM-тип
DOI:
https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.38(1).7-15Ключові слова:
зображення, критична та суперкритична ч. в. множина, надсупер-критична ч. в. множина, квадратична форма Тiтса, кiнченний i ручний зображувальний тип, додатнiсть i слабка додатність, негативнiсть i слабка негативнiстьАнотація
Зображення ч. в. множин (частково впорядкованих множин) ввели Л. А. Назароваi А. В. Ройтер в 1972 р. В тому ж роцi М. М. Клейнер довiв, що ч. в. множинаSмаєскiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли вони не мiстить ч. в. пiдмно-жин вигляду K1= (1,1,1,1), K2= (2,2,2), K3= (1,3,3), K4= (1,2,5) i K5= (N,4). Цi ч. в. множин називаються критичними ч. в. множин щодо скiнченностстi типу(в тому сенсi, що це мiнiмальнi ч. в. множин з нескiнченною кiлькiстю нерозкладних зображень, з точнiстю до еквiвалентностi) або ч. в. множинами Клейнера. У 1974 роцi Ю. А. Дрозд довiв, що ч. в. множинаSмає скiнченний зображувальний тип тодi iлише тодi, коли її квадратична форма Тiтса
є слабко додатною (тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв). Отже, ч. в. множини Клейнера є критичними щодо слабкої додатностi квадратичної форми Тiтса,i iнших таких ч. в. множин немає (з точнiстю до iзоморфiзму). У 2005 роцi автори довели що ч. в. множин є критичною щодо додатностi квадратичної форми Титса тодii лише тодi, коли вона є мiнiмаксно iзоморфна деякiй ч. в. множинi Клейнера.
Подiбну ситуацiю маємо з ч. в. множинами ручного зображувального типу. У 1975р. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множинаSє ручною тодi i лише тодi, коли вона не мiстить ч. в. пiдмножин вигляду N1= (1,1,1,1,1), N2= (1,1,1,2), N3= (2,2,3), N4= (1,3,4), N5= (1,2,6) i (N,5). Вона назвала цi ч. в. множини суперкритичними; вони є критичними щодо слабкої невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса, i iншихтаких ч. в. множин немає. У 2009 роцi автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона мiнiмаксноiзоморфна деякiй суперкритичнiй ч. в. множинi.
Перший автор запропонував ввести ч. в. множини (названi надсуперкритичними),якi вiдрiзняються вiд суперкритичних ч. в. множин в тiй самiй мiрi, що i останнi вiд-рiзняються вiд критичних. Серед цих ч. в. множин є чотири найменшого порядку,а саме 6. У цiй статтi ми описуємо всi ч. в. множини мiнiмаксно еквiвалентнi їм, i вивчаємо деякi їхнi комбiнаторнi властивостi. Важливiсть вивчення мiнiмаксно iзоморфних ч. в. множин визначається тим фактом, що їх квадратичнi форми Тiтса Z-еквiвалентнi, а сам мiнiмаксний iзоморфiзм є досить загальною конструктивно визначеною Z-еквiвалентнiстю для квадратичних форм Тiтса ч. в. множин.
Посилання
- Kleiner, M.M. (1972). Partially ordered sets of finite type. Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 28, 32–41 [in Russian].
- Drozd, Yu.A. (1974). Coxeter transformations and representations of partially ordered sets. Funktsional. Anal. i Prilozhen., 8, 3, 34–42 [in Russian].
- Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2005). (Min, max)-equivalence of partially ordered sets and the Tits quadratic form. Problems of Analysis and Algebra: Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr., 2, 3, 18-58 [in Russian].
- Bondarenko, V.M. (2005). On (min, max)-equivalence of posets and applications to the Tits forms. Bull. of Taras Shevchenko University of Kyiv. (series: Physics & Mathematics), 1, 24–25 [in Russian].
- Nazarova, L.A. (1975). Partially ordered sets of infinite type. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 39, 5, 963–991 [in Russian].
- Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2008). (Min, max)-equivalence of posets and nonnegative Tits forms. Ukr. Math. J. 60, No. 9, 1157–1167 [in Russian].
- Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2009). Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form. Ukr. Math. J., 61, 5, 611-624 [in Russian].
- Bondarenko, V.V., Bondarenko, V.M., Styopochkina, M.V., & Chervyakov, I.V. (2011). 1-oversupercritical partially ordered sets with trivial group of utomorphisms and minequivalence. I. Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform, 22, 2, 17–25 [in Russian].
- Bondarenko, V.V., & Styopochkina, M.V. (2013). Non-primitive 1-oversupercritical partially ordered set and min-equivalence. Scien. J. of NPU named after Dragomanov. Series 1. Phys.-Math. sciences, 14, 55–61 [in Russian].
- Styopochkina, M.V., & Chervyakov, I.V. (2015) The number of partially ordered sets, (min, max)-equivalent to the set (1, 2, 7). Applied problems of mech. and math., 13, 18–21 [in Ukrainian].
- Styopochkina, M.V., & Chervyakov, I. V. (2016). The number of partially ordered sets, (min, max)-equivalent to the 1-oversupercritical partially ordered set (1, 3, 5). Applied problems of mech. and math., 14, 12–15 [in Ukrainian].
- Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2018). On properties of posets of MM-type (1,3,5). Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform, 32, 1, 50–53.
- Bondarenko, V.M., Orlovskaja, Yu.M., & Styopochkina, M.V. (2018). On Hasse diagrams connected with the 1-oversupercritical poset (1,3,5). Applied problems of mech. and math.,16, 30–32.
- Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2019). On properties of posets of MM-type (1, 2, 7). Applied problems of mech. and math., 17, 7–10.
- Bondarenko, V.M., & Styopochkina, M.V. (2017). Coefficients of transitiveness of P-critical posets. Proc. Inst. Math. of NAS of Ukraine, 14, 1, 46–51.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2021 В. М. Бондаренко , В. Ф. Стьопочкiна
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.