Про алгебру Ауслендера напiвгрупи, породженої двома анульовними 2-нiльпотентним i 2-потентним елементами

Анотація

Напiвгрупи третього порядку вперше описав у 1953 р. Т. Тамура, а згодом, у 1955 р. (за допомогою комп’ютерної програми) Г. Е. Форсайт. В обох випадках опис отримано в термiнах таблиць Келi з точнiстю до iзоморфiзму та антиiзоморфiзму. Iснує 18 рiзних напiвгруп третього порядку (напiвгрупи S i T називаються антиiзоморфними,якщо напiвгрупа S iзоморфна напiвгрупi T^op, дуальнiй до напiвгрупи T). Мiнiмальнi системи твiрних та вiдповiднi визначальнi спiввiдношення для всiх таких напiвгруп побудованi в працях В. М. Бондаренка i Я. В. Зацiхи. Зокрема, для комутативних напiвгруп вони такi (в круглих дужках вказано всi елементи напiвгрупи, а в кутових дужках вказано мiнiмальну систему твiрних; тривiальнi визначальнi спiввiдношеннядля одиничного i нульового твiрних e i 0, якщо вони є, не виписуються):

1) (0,b,c) =〈b,c〉:b²= 0,c²= 0,bc=cb= 0;

2) (0,c²,c) =〈c〉:c³= 0;

3) (0,b,c) =〈b,c〉:b²= 0,c²=c,bc=cb= 0;

4) (0,b,e) =〈b,e〉:b²= 0;

5) (0,b,c) =〈b,c〉:b²=b,c²=c,bc=cb= 0;

6) (0,c²,c) =〈0,c〉:c³=c²;

7) (0,b,e) =〈0,b,e〉:b²=b;

8) (0,e,c) =〈0,c〉:c²=e;

9) (c²,b,c) =〈b,c〉:b³=b²,c³=c,b²=c²,bc=cb=c;

10) (c²,e,c) =〈e,c〉:c³=c;

11) (c²,c³,c) =〈c〉:c⁴=c²;

12) (e,b,b²) =〈b〉:b³=e.

Вони ж описали зображувальний тип напiвгруп третього порядку над полем i вказали канонiчну форму матричних зображень для напiвгруп скiнченного зображувального типу (тобто таких, якi мають, з точнiстю до еквiвалентностi, скiнченне число нерозкладних зображень). Автор, разом з В. М. Бондаренком, описали зображувальний тип стандартних наднапiвгруп напiвгрупи, породженої двома взаємно анульовними 2-нiльпотентним i 2-потентним елементами. У цiй статтi для єдиної такої (з точнiстю доiзоморфiзму та антиiзоморфiзму) наднапiвгрупи скiнченного зображувального типу описана їхня матрична алгебра Ауслендера як одна iз форм задання категорiї зображень.