Оцiнка швидкостi збiжностi в центральнiй граничнiй теоремi для послiдовностi серiй

Т. В.  Боярищева; М. М. Капустей; Г. І. Сливка-Тилищак; П. В. Слюсарчук

doi:10.24144/2616-7700.2021.38(1).22-32

Автор(и)

Т. В. Боярищева ДВНЗ «Ужгородський нацiональний унiверситет», Ukraine https://orcid.org/0000-0003-2899-4900
М. М. Капустей ДВНЗ «Ужгородський національний університет», Ukraine https://orcid.org/0000-0002-4438-3395
Г. І. Сливка-Тилищак Пряшiвський унiверситет в Пряшевi, Slovakia https://orcid.org/0000-0002-7129-0530
П. В. Слюсарчук ДВНЗ «Ужгородський національний університет», Ukraine https://orcid.org/0000-0001-9235-1497

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.38(1).22-32

Ключові слова:

центральна гранична теорема, оцiнка швидкостi збiжностi, послi- довнiсть серiй випадкових величин

Анотація

Граничнi теореми теорiї ймовiрностей мають широке застосування у рiзних галу-зях науки i виробництва. Адже вони вивчають властивостi рiзних випадкових вели-чин, що формуються пiд впливом значної кiлькостi випадкових чинникiв, кожен зяких, в свою чергу, має незначний вплив на кiнцевий результат, але сумарний впливцих чинникiв є суттєвим. Задачi, якi розв’язуються в межах цiєї галузi, можна умов-но роздiлити на два типи. Першi дослiджують сам факт збiжностi суми випадковихдоданкiв, а другi вивчають швидкiсть цiєї збiжностi. Дана робота присвячена якраздругому питанню. Оцiнками швидкостi збiжностi у граничних теоремах займалосячимало дослiдникiв. Щоправда, до середини минулого столiття цi оцiнки формулюва-лися в термiнах абсолютних моментiв, що мало принаймнi два недолiки. Насамперед,iснування абсолютних моментiв є досить жорсткою умовою, що суттєво звужує коловипадкових величин, до яких можна застосувати данi оцiнки. I по-друге, оцiнки, щовиражаються через абсолютнi моменти, не враховують близькостi розподiлiв доданкiвдо граничного. Незважаючи на це, iснує велика кiлькiсть оцiнок, починаючи з нерiвно-стi Беррi – Ессеена i закiнчуючи дослiдженнями сучасних вчених, що використовуютьсаме абсолютнi моменти. Способом, що дозволив уникнути обох недолiкiв оцiнок, ста-ло використання псевдомоментiв. Псевдомомент – це числова характеристика, яка засвоєю структурою виражається через рiзницю функцiй розподiлу дослiджуваної таграничної випадкових величин. Тому у випадку рiвностi цих розподiлiв псевдомоментрiвний нулю, що дозволяє здiйснити бiльш точну оцiнку. Структура цих характери-стик може бути дуже рiзноманiтною, що дозволяє використати псевдомомент такоговигляду, який зручний саме для даної конкретної задачi. У статтi використано хара-ктеристики, аналогiчнi до тих, що введенi В. М. Золотарьовим. З їх допомогою ви-вчається швидкiсть збiжностi розподiлiв сум незалежних випадкових величин до нор-мального закону в схемi серiй. Обмеження, якi при цьому накладаються на випадковiдоданки, є не надто суворими – вимагається рiвнiсть нулю математичного сподiвання i скiнченнiсть дисперсiй кожного доданка. Натомiсть одержано оцiнки швидкостi збi-жностi, що виражаються через псевдомоменти рiзного виду. Також у роботi отриманооцiнки для характеристичних функцiй, якi теж виражаються через вказанi характе-ристики. Вони необхiднi для доведення основних результатiв, але мають i самостiйнезначення.

Посилання

Zolotarev, V. M. (1986). The modern theory of summation of independent random variables. Moscow: Izdatelstvo Nauka [in Russian].

Zolotarev, V. M. (1973). Exactness of an approximation in the central limit theorem. Proceedings of the Second Japan-USSR Symposium on Probability Theory. Berlin: Springer-Verlag. 531-543.

Slyusarchuk, P. V., & Polyak, I. Y. (1998). The generalising of some result of V. M. Zolotarev. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 3, 184-189 [in Ukrainian].

Boyaryshcheva, T. V., & Slyusarchuk, P. V. (1999). The rate of convergence in the central limit theorem for no indetically distributed random variabels (Ukrainian). Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 4, 12-16 [in Ukrainian].

Kapustey, M. M., & Slyusarchuk, P. V. (2018). Estimation of the convergence velocity in the central limit theorem for a seguance of series in the term of mean pseudo-moments Theory of Probability and Mathematical Statistics, 2(99), 91-100 [in Ukrainian].

Kapustey, M. M., & Slyusarchuk, P. V. (2018). The accuracy of the approximation in the central limit theorem in terms of pseudo-moments. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 2(33), 78–87 [in Ukrainian].

Loeve M. (1962). Probability Theory. Moscow: Izdatelstvo inostrannoy literatury [in Russian]