Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона зі степеневими нелінійностями

Автор(и)

  • С. М. Бак Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського, Ukraine http://orcid.org/0000-0003-1508-2144

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.39(2).7-21

Ключові слова:

дискретні рівняння типу Клейна-Ґордона, стоячі хвилі, степеневі нелінійності, критичні точки, теорема про зачеплення, періодичні апроксимації

Анотація

Дана стаття присвячена вивченню дискретних рівнянь типу Клейна-Ґордона, які описують динаміку нескінченного ланцюга лінійно зв’язаних нелінійних осциляторів. Ці рівняння представляють собою зчисленну систему звичайних диференціальних рівнянь. Такі системи є нескінченновимірними гамільтоновими системами. Розглядаються рівняння типу Клейна-Ґордона зі степеневими нелінійностями непарного степеня. При підстановці анзаца у вигляді стоячої хвилі одержується система алгебраїчних рівнянь для амплітуди стоячої хвилі. Далі розглядається система з більш загальним оператором L лінійної взаємодії осциляторів, який є обмеженим і самоспряженим у гільбертовому просторі дійсних двохсторонніх послідовностей l2. Розглядається задача про існування періодичних і локалізованих (збігаються до нуля на нескінченності) розв’язків для таких систем. Основними умовами існування цих розв’язків є просторова періодичність коефіцієнтів оператора лінійної взаємодії осциляторів та належність частоти стоячої хвилі спектральному проміжку оператора L. Якщо правий кінець спектрального проміжка скінченний, то система має нетривіальні розв’язки. У цій статті показано, що періодичні і локалізовані розв’язки цієї системи можна побудувати як критичні точки відповідних функціоналів Jk та J. Існування періодичних розв’язків встановлено за допомогою теореми про зачеплення. Зокрема, показано, що функціонал Jk задовольняє так звану умову Пале-Смейла та геометрію зачеплення, а отже, має нетривіальні критичні точки. Останні і є періодичними розв’язками системи. У випадку локалізованих розв’язків використати теорему про зачеплення не можна, оскільки для функціоналу J не виконується умова Пале-Смейла. Тому у цьому випадку використано метод періодичних апроксимацій, тобто критичні точки функціоналу J будуються за допомогою граничного переходу при k→∞ в критичних точках функціоналу Jk. В силу відомих властивостей дискретного оператора Лапласа одержано наслідок, в якому встановлено умови існування локалізованих розв’язків для вихідної системи.  

Біографія автора

С. М. Бак, Вінницький державний педагогічний університет імені Михайла Коцюбинського

Доктор фізико-математичних наук, професор кафедри математики та інформатики

Посилання

Aubry, S. (1997). Breathers in nonlinear lattices: Existence, linear stability and quantization. Physica D., 103, 201-250.

Braun, O. M., & Kivshar, Y. S. (1998). Nonlinear dynamics of the Frenkel-Kontorova model. Physics Repts., 306, 1-108.

Iooss, G., & Pelinovsky, D. (2006). Normal form for travelling kinks in discrete Klein-Gordon lattices. Physica D, 216, 327-345.

Braun, O. M., & Kivshar, Y. S. (2004). The Frenkel-Kontorova Model, Concepts, Methods and Applications. Berlin: Springer.

Pankov, A. (2005). Traveling waves and periodic oscillations in Fermi-Pasta-Ulam lattices. London: Imperial College Press.

Bak, S. M. (2016). Existence of heteroclinic traveling waves in a system of oscillators on a two-dimensional lattice. J. Math. Sci., 217(2), 187-197.

Bak, S. M. (2017). Existence of solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators on the 2d-lattice. Ukr. Math. J., 69(4), 509-520.

Bak, S. M. (2007). Periodic traveling waves in chains of oscillators. Commun. Math. Analysis., 3(1), 19-26.

Bak, S. N., & Pankov, A. A. (2011). Traveling waves in systems of oscillators on 2D-lattices. J. Math. Sci., 174(4), 916-920.

Iooss, G., & Kirschgässner, K. (2000). Traveling waves in a chain of coupled nonlinear oscillators. Commun. Math. Phys., 211, 439-464.

Bak, S., & Kovtonyuk, G. (2019). Existence of standing waves in DNLS with saturable nonlinearity on 2D lattice. Commun. Math. Analysis., 22(2), 18-34.

Pankov, A. (2006). Gap solitons in periodic discrete NLS equations. Nonlinearity, 19, 27-40.

Pankov, A. (2007). Gap solitons in periodic discrete nonlinear Schrö dinger equations, II: generalized Nehari manifold approach. Discr. Cont. Dyn. Sys., 19(2), 419-430.

Ghimenti, M., Le Coz, S., & Squassina, M. (2013). On the stability of standing waves of Klein-Gordon equations in a semiclassical regime. Discr. Cont. Dyn. Sys., 33(6), 2389-2401.

Morgante, A. M., Johansson, M., Kopidakis, G., & Aubry, S. (2001). Standing waves in 1D nonlinear lattices. Nonlinear and Disorder: Theory and Applications. Kluwer Academic Publishers, 205-211.

Rabinowitz, P. H. (1986). Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations. Providence: Amer. Math. So c.

Teschl, G. (2000). Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices. Providence, R. I.: American Math. So c.

Willem, M. (1996). Minimax theorems. Boston: Birkhäuser.

##submission.downloads##

Опубліковано

2021-11-16

Як цитувати

Бак, С. М. (2021). Стоячі хвилі в дискретних рівняннях типу Клейна-Ґордона зі степеневими нелінійностями. Науковий вісник Ужгородського університету. Серія «Математика і інформатика», 39(2), 7–21. https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.39(2).7-21

Номер

Розділ

Математика та статистика