Кратностi ваг незвiдних  зображень  алгебри Лі sl3

А. О. Рамський; Н. М. Самарук; О. А. Поплавська

doi:10.24144/2616-7700.2021.39(2).81-90

Автор(и)

А. О. Рамський Хмельницький національний університет, Ukraine https://orcid.org/0000-0001-9624-5018
Н. М. Самарук Хмельницький національний університет, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-4611-8528
О. А. Поплавська Хмельницький національний університет, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-6920-1842

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.39(2).81-90

Ключові слова:

алгебри Лі, незвідні зображення, характери, кратності, формула Вейля, многочлени Шура

Анотація

В даній статті для комплексної алгебри Лі sl₃ запропонована явна формула знаходження кратності ваги незвідного зображення Γ_λ, яке визначається старшою вагою λ = (a,b). Множина всіх ваг Λ такого зображення утворює групове кільце Z[Λ] з мультиплікативним базисом e(μ),μ ∈ Λ. Характер зображення Char Γ_λє елементом Z[Λ], коефіцієнти якого і є шуканими кратностями.
Головна ідея обчислень полягає у специфікації базису e(μ) = x^μ1y^μ2групового кільця Z[Λ]. Це дало можливість представити характер Char Γ_λ незвідного Γ_λ зображення як многочлен Шура $s_{a,b}\left(x,\dfrac{y}{x}, \dfrac{1}{y} \right)$ від двох змінних $x,y$ . Як наслідок ми виразити коефіцієнти цього многочлена через прості функції, які легко обчислюються за лінійний час. Ключову роль в обчисленні зіграли знайдені явно коефіцієнти розкладу ряду
$$
\Delta=\dfrac{1}{\left( {y}^{2}-x \right) \left(1- yx \right) \left( y-{x}^{2} \right)},
$$
в термінах функції

$$
c(n,k)= \left \{
\begin{array}{l}
\min(n{-}k+2,k) , 1 \leq k \leq n+1, \\
\\
0, \text{ {\rm в іншому випадку.} }
\end{array}
\right.
$$

Посилання

Freudenthal, H.(1954). Zur Berechnung der chararktere der halbeinfachen Lieschen gruppen. Indag. Math., 16, 369-376.

Kostant, B. (1959). A formula for the multiplicity of a weight. Transactions of the American Mathematical Society, 93(1), 53-73.

Racah, G. (1964). Lectures on Lie groups, Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics, F. Gfirsey, ed., Gordon and Breach, New York, 1-36.

Klimyk, A. U. (1967). Multiplicities of weights of representations and multiplicities of representations of semisimple Lie algebras. Soviet Math. Dokl., 177(5), 10011004.

Humphreys, J. (1978). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer.

Moody, R. V. & Patera, J. (1982). Fast recursion formula for weight multiplicities. Bul l. Amer. Math. Soc. (N.S.), 7(1), 237-242.

Cavallin, M. (2017). An algorithm for computing weight multiplicities in irreducible modules for complex semisimple Lie algebras. J. Algebra, 471, 492-510.

Siddhartha, S. (2000). A new formula for weight multiplicities and characters. Duke Math. J., 101 (1), 77-84.

Schützer, W. (2012). A new character formula for Lie algebras and Lie groups. J. Lie Theory, 22(3), 817-838.

Lauret, E A. & Bertone, F.R. (2017). Multiplicity formulas for fundamental strings of representations of classical Lie algebras. Journal of Mathematical Physics, 58, 111-703.

Fulton, W. & Harris, J. (2004). Representation theory: a first course, Graduate texts in mathematics, 129, Springer.

Lübeck, F. (2001). Small degree representations of nite Chevalley groups in defining characteristic, LMS J. Comput. Math., 4, 135-169.