Критичний випадок в теорії матричних диференціальних рівнянь

С. А. Щоголев; В. В. Карапетров

doi:10.24144/2616-7700.2021.39(2).100-115

Автор(и)

С. А. Щоголев Одеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова, Ukraine https://orcid.org/0000-0001-8025-143X
В. В. Карапетров Одеський національний університет імені І. І. Мечникова, Ukraine https://orcid.org/0000-0003-1315-4968

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.39(2).100-115

Ключові слова:

матричні диференціальні рівняння, ряди Фур'є, повільно змінні параметри

Анотація

При математичному описанні різноманітних явищ і процесів, що виникають в математичній фізиці, електротехніці, економіці, доводиться мати справу з матричними диференціальними рівняннями. Тому такі рівняння є актуальними как для математиків, так і для фахівців в інших галузях природознавства. В даній статті розглядається квазілінійне матричне диференціальне рівняння з коефіцієнтами, зображуваними у вигляді абсолютно та рівномірно збіжних рядів Фур'є з повільно змінними в певному сенсі коефіцієнтами та частотою (клас F). Різниці діагональних елементів матриць лінійної частини є суто уявними, тобто ми маємо справу з критичним випадком. Але між цими діагональними елементами припускаються певні співвідношення, що вказують на відсутність резонансу між власними частотами системи і частотою зовнішньої збуджуючої сили. Розглядається задача встановлення ознак існування у такого рівняння розв'язків класу F. За допомогою низки перетворень рівняння зводиться до рівняння некритичного випадку, і розв'язок класу F цього рівняння шукається методом послідовних наближень за допомогою принципа стискуючих відображень. Потім на підставі властивостей розв'язків перетвореного рівняння робляться висновки щодо властивостей початкового рівняння.

Посилання

Boichuk, A. A, & Krivosheya, S. A. (2001). A Critical Periodic Boundary Value Problem for a Matrix Riccati Equation. Differential equations, 37(4), 464-471.

Chuiko, S. M. (2017). Elementy teorii lineynyih matrichnyh uravneniy [Elements of the theory of linear matrix equations]. Slavyansk [in Russian].

Chuiko, S. M. (2015). O reshenii ob obshchyonnogo matrichnogo uravneniya Silvestra [On the solutions of the generalized matrix equations of Sylvestr]. Chebyshevsky sbornik, 16(1), 52-66. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-52-66 [in Russian].

Chuiko, S. M., Nesmelova (Starkova), O. V., & Syso ev, D. V. (2015). Nelinejnaya matrichnaya kraevaya zadacha v sluchae parametricheskogo rezonansa. [Nonlinear boudary value problem in the case of parametric resonance]. Computer Research and Modeling, 7(4), 821-833. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2015-7-4-821-833 [in Russian].

Verde-Star, L.. (2007). On linear matrix differential equations. Advances in Applied Mathematics, 39, 329-344.

Shchogolev, S. A., & Karapetrov, V. V. (2020). Ob odnom klasse reshenij kvazilinejnyh matrichnyh differencial'nyh uravnenij [On one class of solutions of the quasilinear matrix differential equations]. Researches in Mathematics and Mechanics, 25, 2(36), 95-102. https://doi.org/10.18524/2519-206X.2020.2(36).233806. [in Russian].

Shchogolev, S. A., & Karapetrov, V. V. (2021). Block separation of the system of the linear matrix differential equations. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 38(1), 94-104. https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.38(1).94-104 [in Ukrainian].

Bari, N. K. (1961). Triginometrichskye ryady [Trigonometric series]. Moskva: Fizmatgiz [in Russian].

Kolmogorov, A. N, & Fomin, S. V. (1972). Functsionalnyi analiz [Functional analysis]. Moskva: Nauka [in Russian].

Malkin, I. G. (1956). Nekotorye zadachi teorii nelinejnyh kolebanij [Some problems of the theory of nonlinear oscillations]. Moskva: Gostekhizdat [in Russian].