Про коефіцієнти  транзитивності частково впорядкованих  множин, що мають   надсуперкритичний непримітивний MM-тип

В. М. Бондаренко; М. В. Стьопочкіна

doi:10.24144/2616-7700.2021.39(2).22-29

Автор(и)

В. М. Бондаренко Інститут математики НАН України, Україна https://orcid.org/0000-0002-5064-9452
М. В. Стьопочкіна Поліський національний університет, Україна https://orcid.org/0000-0002-7270-9874

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2021.39(2).22-29

Ключові слова:

зображення, критична та суперкритична ч. в. множина, надсуперкритична ч. в. множина, квадратична форма Тітса, кінченний і ручний зображувальний тип, додатність і слабка додатність, негативність і слабка негативність

Анотація

М. М. Клейнер довів, що ч. в. (частково порядкована) множина S має скінченний зображувальний тип тоді і лише тоді, коли вона не містить ч. в. підмножин вигляду (1,1,1,1), (2,2,2), (1,3,3), (1,2,5), (N,4).

Ці ч. в. множини називаються ч. в. множинами Клейнера і є (з точністю до ізоморфізму) всіма критичними ч. в. множинами щодо скінченності типу (в тому сенсі, що це мінімальні ч. в. множини нескінченного зображувального типу). Пізніше Ю. А. Дрозд довів, що ч. в. множина S має скінченний зображувальний тип тоді і лише тоді, коли квадратична форма

$$ q_S(z)=:z_0^2+\sum_{i\in S} z_i^2+\sum_{i<j, i,j\in S}z_i z_j-z_0\sum_{i\in S}z_i,$$

яка називається квадратичною формою Тітса множини S, є слабко додатною (тобто додатною на множині невід'ємних векторів). Отже, ч. в. множини Клейнера є критичними щодо слабкої додатності квадратичної форми Тітса. У 2005 році автори довели що ч. в. множина є критичною щодо додатності квадратичної форми Тітса тоді і лише тоді, коли вона мінімаксно ізоморфна деякій ч. в. множині Клейнера.

Подібну ситуацію маємо для ч. в. множин ручного зображувального типу. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множина S є ручною тоді і лише тоді, коли вона не містить ч. в. підмножин вигляду (1,1,1,1,1), (1,1,1,2), (2,2,3), (1,3,4),(1,2,6), (N,5).
і ч. в. множини є критичними щодо слабкої невід'ємності квадратичної форми Тітса і називаються суперкритичними.

У 2009 році автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невід'ємності квадратичної форми Тітса тоді і лише тоді, коли вона мінімаксно ізоморфна деякій суперкритичній ч. в. множині. Перший автор запропонував ввести так звані надсуперкритичні (або 1-надсуперкритичні) ч. в. множини, які відрізняються від суперкритичних ч. в. множин в тій самій мірі, що і останні відрізняються від критичних. Серед цих ч. в. множин є єдина не примітивна, тобто яка не є прямою сумою ланцюгів. У цій статті ми описуємо всі ч. в. множини, які мінімаксно ізоморфні їй, і вивчаємо деякі їхні комбінаторні властивості. Важливість вивчення мінімаксно ізоморфних ч. в. множин визначається тим, що їх квадратичні форми Тітса Z-еквівалентні, а сам мінімаксний ізоморфізм є досить загальною конструктивно визначеною Z-еквівалентністю для квадратичних форм Тітса ч. в. множин.

Посилання

Bondarenko, V. V., Bondarenko, V. M., Styopochkina, M. V., & Chervyakov, I.V. (2011). 1-oversupercritical partially ordered sets with trivial group of automorphisms and min-equivalence. I. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 22(2), 17-25 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2021). On posets of sixth order having oversupercritical MM-type. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 38(1), 7-15.

Bondarenko, V.M. (2005). On (min, max)-equivalence of posets and applications to the Tits forms. Bull. of Taras Shevchenko University of Kyiv. (series: Physics & Mathematics), 1, 24-25 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2018). On properties of posets of MM-type (1,3,5). SScientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 1(32), 50-53.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2005). (Min, max)-equivalence of partially ordered sets and the Tits quadratic form. Problems of Analysis and Algebra: Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr., 2(3), 18-58 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2009). Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form. Ukr. Math. J., 61(5), 611-624 [in Russian].

Bondarenko, V. V., & Styopochkina, M. V. (2013). Non-primitive 1-oversupercritical partially ordered set and min-equivalence. Scien. J. of NPU named after Dragomanov. Series 1. Phys.-Math. sciences, 14, 55-61 [in Russian].

Styopochkina, M. V., & Chervyakov, I. V. (2015). The numb er of partially ordered sets, (min, max)-equivalent to the set (1, 2, 7). Applied problems of mech. and math., 13, 18-21 [in Ukrainian].

Styopochkina, M. V., & Chervyakov, I. V. (2016). The numb er of partially ordered sets, (min, max)-equivalent to the 1-oversupercritical partially ordered set (1, 3, 5). Applied problems of mech. and math., 14, 12-15 [in Ukrainian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2017). Coefficients of transitiveness of P-critical posets. Proc. Inst. Math. of NAS of Ukraine, 14(1), 46-51.

Bondarenko, V. M., Orlovskaja, Yu. M., & Styopochkina, M. V. (2018). On Hasse diagrams connected with the 1-oversupercritical poset (1,3,5). Applied problems of mech. and math.,16, 30-32.

Bondarenko, V. M., & Styop o chkina, M. V. (2019). On properties of posets of MM-type (1,2,7). Applied problems of mech. and math., 17, 7-10.

Bondarenko, V. M., Styop o chkina, M. V., & Stoika M. V. (2020). The coefficients of transitiveness of the posets of MM-type being the smallest sup ercritical poset of width 3. Applied problems of mech. and math., 18, 11-13.