On differentially prime ideals of Noetherian semirings

І. О. Мельник

doi:10.24144/2616-7700.2022.40(1).69-74

Автор(и)

І. О. Мельник Львівський національний університет імені Івана Франка, Ukraine http://orcid.org/0000-0002-7650-5190

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2022.40(1).69-74

Ключові слова:

диференціювання напівкільця, диференціальне напівкільце, диференціальний ідеал напівкільця, диференціально-первинний ідеал, квазіпервинний ідеал, примарний ідеал, нетерове напівкільце

Анотація

Ця стаття присвячена дослідженню поняття диференціально-первинного ідеалу в диференціальному комутативному напівкільці (напівкільці разом із заданому на ньому диференціюванням) та його зв'язками з поняттями квазіпервинного ідеалу та примарного ідеалу. Поняття диференціювання напівкільця традиційно визначають як адитивне відображення, яке задовольняє правило Лейбніца, тобто відображення δ: R → R називають диференціюванням напівкільця R, якщо δ (a + b)= δ (a) + δ (b) і δ (ab) = δ (a)b + aδ (b) для будь-яких a, b ∈ R.

Диференціальний ідеал P напівкільця R називають диференціально-первинним ідеалом, якщо для будь-яких a, b ∈ R, k ∈ ℕ₀, з ab^(k)∈ P випливає, що a ∈ P або b ∈ P. Доведено, що ідеал P напівкільця R є диференціально-первинним тоді і тільки тоді, коли для ідеалів I та J напівкільця R з включення IJ ⊆ P випливає, що I ⊆ P або J ⊆ P. Квазіпервинний ідеал напівкільця ━ це диференціальний ідеал, максимальний серед диференціальних ідеалів, що мають порожній перетин з деякою мультиплікативно-замкненою підмножиною даного напівкільця.

У цій статті досліджуються деякі властивості диференціально-первинних ідеалів, зокрема таких ідеалів в диференціальних нетерових напівкільцях.

Стаття складається з двох основних частин. У першій частині встановлено деякі властивості диференціально-первинних ідеалів та подано приклади таких ідеалів. У другій частині статті автор досліджує зв'язки, що існують між поняттями квазіпервинний, примарний ідеал та диференціально-первинний ідеал в нетерових диференціальних напівкільцях. Встановлено, що в диференціальному нетеровому напівкільці R диференціальний ідеал I напівкільця R є диференціально-первинним ідеалом тоді і тільки тоді, коли I є квазіпервинний ідеал.

Посилання

Golan, J. S. (1999). Semirings and their Applications, Kluwer Academic Publishers, 1999.

Chandramouleeswaran, M., & Thiruveni, V. (2010). On derivations of semirings. Advances in Algebra, 1, 123–131.

Melnyk, I. (2016). On the radical of a differential semiring ideal. Visnyk of the Lviv. Univ. Series Mech. Math., 82, 163–173.

Melnyk, I. (2020). On quasi-prime differential semiring ideals. Nauk. visnyk Uzhgorod. Univ. Ser. Math. and informat., 37 (2), 63–69.

Keigher, W. (1977). Prime differential ideals in differential rings. Contributions to Algebra, A Collection of Papers Dedicated to Ellis Kolchin, Academic Press, 239–249.

Keigher, W. F. (1978). Quasi-prime ideals in differential rings. Houston J. Math., 4 (3), 379–388.

Nowicki, A. (1979). The primary decomposition of differential modules. Commentationes Mathematicae, 21, 341–346.

Nowicki, A. (1982). Some remarks on d–MP-rings. Bulletin of the Polish Academy of Sciences. Mathematics, 30 (7-8), 311–317.

Khadjiev, Dj., & Çallialp, F. (1996). On a differential analog of the prime-radical and properties of the lattice of the radical differential ideals in associative differential rings. Tr. J. of Math., 4 (20), 571–582.

Melnyk, I. (2008). Sdm-systems, differentially prime and differentially primary modules. Nauk. visnyk Uzhgorod. Univ. Ser. Math. and informat, 16, 110–118. [in Ukrainian].

Melnyk, I. (2008). Differentially prime, quasi-prime and Δ–MP modules. Bul. Acad. Stiinte Repub. Moldova. Matematica, 3 (58), 112–115.

Hebisch, U., & Weinert, H. J. (1998). Semirings: Algebraic Theory and Applications in Computer Science. World Scientific.

Kaplansky, I. (1999). Introduction to differential algebra. Graduate Texts in Mathematics, 189, New York: Springer-Verlag.

Kolchin, S. E. (1973). Differential Algebra and Algebraic Groups. New York: Academic Press.