The coefficients of transitivity of the posets of MM-type being the highest supercritical poset

В. М. Бондаренко; М. В. Стойка; М. В. Стьопочкіна

doi:10.24144/2616-7700.2022.40(1).11-18

Автор(и)

В. М. Бондаренко Інститут математики НАН України, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-5064-9452
М. В. Стойка Закарпатський угорський інститут ім. Ференца Ракоці ІІ, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-0840-1496
М. В. Стьопочкіна Поліський національний університет, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-7270-9874

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2022.40(1).11-18

Ключові слова:

зображення, критична і суперкритична ч. в. множина, квадратична форма Тітса, скінченний і ручний зображувальний тип, додатність і слабка додатність, негативність і слабка негативність, мінімаксний ізоморфізм, коефіцієнт транзитивності

Анотація

Зображення частково впорядкованих (скорочено ч. в.) множин, які введені Л. А. Назаровою і А. В. Ройтером (в матричній формі) в 1972 р., відіграють важливу роль в сучасній теорії зображень. У своїй першій праці за цією тематикою М. М. Клейнер довів, що ч. в. множина S має скінченний зображувальний тип (тобто має скінченне число нерозкладних зображень, з точністю до еквівалентності) тоді і лише тоді, коли вона не містить ч. в. підмножин вигляду K₁= (1, 1, 1, 1), K₂ = (2, 2, 2), K₃ = (1, 3, 3), K₄ = (1, 2, 5) і K₅ = (N, 4). Вказані ч. в. множини називаються критичними ч. в. множин щодо скінченності типу (тобто вони є мінімальними ч. в. множинами з нескінченним числом нерозкладних зображень, з точністю до еквівалентності). Їх також називають (критичними) ч. в. множинами Клейнера. У 1974 р. Ю. А. Дрозд довів, що ч. в. множина S має скінченний зображувальний тип тоді і лише тоді, коли її квадратична форма Тітса

uc?export=view&id=18wAtq7FHjbHThEPTfzwtO3J46vrlTbpD

є слабко додатною (тобто додатною на множині невід'ємних векторів). Таким чином, ч. в. множини Клейнера є критичними щодо слабкої додатності квадратичної форми Тітса, і інших таких ч. в. множин немає (з точністю до ізоморфізму). У 2005 р. автори довели що ч. в. множина є критичною щодо додатності квадратичної форми Титса тоді і лише тоді, коли вона мінімаксно ізоморфна деякій ч. в. множині Клейнера.

Подібну ситуацію маємо з ч. в. множинами ручного зображувального типу. У 1975 р. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множина S є ручною тоді і лише тоді, коли вона не містить ч. в. підмножин вигляду N₁ = (1, 1, 1, 1, 1), N₂ = (1, 1, 1, 2), N₃ = (2, 2, 3), N₄ = (1, 3, 4), N₅ = (1, 2, 6) і (N, 5). Вона назвала ці ч. в. множини суперкритичними; вони є також критичними щодо слабкої невід'ємності квадратичної форми Тітса. У 2009 році автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невід'ємності квадратичної форми Тітса тоді і лише тоді, коли вона мінімаксно ізоморфна деякій суперкритичній ч. в. множині.

У цій статті вивчаються комбінаторні властивості ч. в. множин, мінімаксно ізоморфних суперкритичній ч. в. множині найбільшої висоти, тобто (1, 2, 6). Важливість вивчення мінімаксно ізоморфних ч. в. множин визначається тим фактом, що їх квадратичні форми Тітса ℤ-еквівалентні, а сам мінімаксний ізоморфізм є досить загальною конструктивно визначеною ℤ-еквівалентністю для квадратичних форм Тітса ч. в. множин.

Посилання

Nazarova, L. A., & Roiter, A. V. (1972). Representations of partially ordered sets. Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 28, 5–31 [in Russian].

Kleiner, M. M. (1972). Partially ordered sets of finite type. Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 28, 32–41 [in Russian].

Drozd, Yu. A. (1974). Coxeter transformations and representations of partially ordered sets. Funktsional. Anal. i Prilozhen., 8(3), 34–42 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2005). (Min, max)-equivalence of partially ordered sets and the Tits quadratic form. Problems of Analysis and Algebra: Zb. Pr. Inst. Mat. NAN Ukr., 2(3), 18–58 [in Russian].

Bondarenko, V. M. (2005). On (min, max)-equivalence of posets and applications to the Tits forms. Bull. of Taras Shevchenko University of Kyiv. (series: Physics & Mathematics), 1, 24–25.

Nazarova, L. A. (1975). Partially ordered sets of infinite type. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 39(5), 963–991 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2008). (Min, max)-equivalence of posets and nonnegative Tits forms. Ukr. Math. J. 60(9), 1157–1167 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2009). Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form. Ukr. Math. J., 61(5), 611–624 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2005). On posets of width two with positive Tits form. Algebra Discrete Mathematics. 2. 20–35.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2005). Partially ordered sets of injectively finite type. Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform., 10–11, 22–33 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2006). On finite posets of inj-finite type and their its forms. Algebra Discrete Mathematics, 2, 17–21.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2006). On the connection between INJ-finiteness of the type and the positivity of the quadratic Tits form for finite partially ordered sets. Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform, 12–13, 33–38 [in Russian].

Bondarenko, V. M., Chervyakov, I. V., & Styopochkina, M. V. (2015). On properties of the Hasse diagram of P-critical posets. Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform, 26, N1, 12–15 [in Russian].

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2016). On properties of the Hasse diagram of nonserial posets with positive quadratic Tits form. Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform, 29(2), 31–34.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2018). Strengthening of a theorem on Coxeter-Euclidean type of principal partyally ordered sets. Bull. of Taras Shevchenko University of Kyiv. (series: Physics & Mathematics), 4, 8–15.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2019). The classification of serial posets with the non-negative quadratic Tits form being principal. Algebra and Discrete Mathematics. 27(2), 202–211.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2021). On classifying the non-Tits P-critical posets. Algebra and Discrete Mathematics, 32(2), 185–196.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2017). Coeficients of transitiveness of P-critical posets. Proc. Inst. Math. of NAS of Ukraine, 14(1), 46–51.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2018). On properties of posets of MM-type (1, 3, 5). Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform., 32(1), 50–53.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2019). On properties of posets of MM-type (1, 2, 7). Applied problems of mech. and math., 17, 7–10.

Bondarenko, V. M., Stepochkina, M. V. , & Stoika, M. V. (2020) The coeficients of transitiveness of the posets of MM-type being the smallest sypercritical poset of width. Applied problems of mech. and math., 18, 11–13.

Bondarenko, V. M., & Styopochkina, M. V. (2021). On posets of sixth order having oversupercritical MM-type. Scien. Bull. of Uzhhorod Univ. Series of Math. and Inform., 38(1), 7–15.