Асимптотична поведінка розв'язків лінійних диференціальних рівнянь загального вигляду збурених за допомогою вінерівського процесу

О. М. Десницький; Ю. Ю. Млавець; І. В. Орловський; О. А. Тимошенко

doi:10.24144/2616-7700.2022.41(2).29-40

Автор(и)

О. М. Десницький Національний технічний університет України «КПІ ім. Ігоря Сікорського», Україна https://orcid.org/0000-0002-2455-9795
Ю. Ю. Млавець ДВНЗ «Ужгородський національний університет», Україна https://orcid.org/0000-0002-1480-9017
І. В. Орловський Національний технічний університет України «КПІ ім. Ігоря Сікорського», Україна https://orcid.org/0000-0003-0922-1611
О. А. Тимошенко Національний технічний університет України «КПІ ім. Ігоря Сікорського», Україна https://orcid.org/0000-0003-1885-7275

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2022.41(2).29-40

Ключові слова:

стохастичне диференціальне рівняння, лінійне стохастичне диференціальне рівняння, асимптотичні властивості розв'язків, моделювання стохастичних диференціальних рівнянь, метод Ейлера-Маруями

Анотація

У роботі доведено граничну теорему про асимптотичну поведінку розв'язків лінійних стохастичних диференціальних рівняння. Рівняння цього типу є узагальненням багатьох моделей, що широко використовуються у задачах фінансової математики. Доведення базується на застосуванні техніки розробленої в роботах Й. І. Гіхмана та А. В. Скорохода для автономних стохастичних диференціальних рівнянь. Знайдено умови, за яких асимптотична поведінка розв'язку лінійного стохастичного диференціального рівняння визначається невипадковою функцією. Наведено приклади симуляцій за допомогою метода Ейлера-Маруями.

Посилання

Gihman, I. I., & Skorohod, A. V. (1972). Stochastic differential equations. Berlin: Springer-Verlag.

Khasminskyi, R. Z. (1969). Stability of systems of differential equations under random perturbations of their parameters. Nauka [in Russian].

Makkin, G. (1972). Stochastic integrals. Moscow: Mir. [in Russian].

Ikeda, N., & Watanabe, S. (1992). Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. North Holland.

Keller, G., Kersting, G., & Rosler, U. (1984). On the asymptotic behaviour of solutions of stochastic differential equations Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 68, 163‒189. https://doi.org/10.1007/BF00531776

Buldygin, V., & Tymoshenko, O. (2010). On the exact order of growth of solutions of stochastic differential equations with time-dependent coefficients. Theory of Stochastic Processes, 16(2), 12‒22. https://doi.org/10.1093/bjps/axp018

Tymoshenko, O. A. (2016). Generalization of asymptotic behavior of non-autonomous stochastic differential equations. Naukovi Visti NTUU KPI, 4, 100‒106. https://doi.org/10.20535/1810-0546.2016.4.71649

Klesov, O. I., & Tymoshenko, O. A. (2019). Almost Sure Asymptotic Properties of Solutions of a Class of Non-homogeneous Stochastic Differential Equations. Modern Mathematics and Mechanics. Fundamentals Problems and Challenges. Switzerland: Springer, 97‒114. https://doi.org/10.1007/978-3-319-96755-46

Buldygin, V. V., Klesov, O. I., Steinebach, J. G., & Tymoshenko, O. A. (2008). On the φ-asymptotic behaviour of solutions of stochastic differential equations, Theory Stoch. Process, 14, 11‒29.

Klesov, O. I., & Tymoshenko, O. A. (2013). Unbounded solutions of stochastic differential equations with timedependent coefficients, Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp., 41, 25‒35.

Asmussen, S., & Glynn, P. W. (2007). Stochastic Modelling and Applied Probability. New York: Springer.

Kloeden, P. E., & Platen, E. (1992). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer.

Mitsui, T. (1995). Stability analysis of numerical solution of stochastic differential equations. Kokyuroku (Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ), 850, 124‒138.