Формальний розв’язок задачі Діріхле у кулі для неоднорідного ультрагіперболічного рівняння з поліноміальною правою частиною
DOI:
https://doi.org/10.24144/2616-7700.2023.42(1).174-180Ключові слова:
ультрагіперболічне рівняння, задача Діріхле, сферичні функції, гіпергеометричне рівняння Гаусса, коефіцієнти Фур’є, метод двоїстості рівняння-областьАнотація
В роботі знайдено формальний розв’язок задачі Діріхле у кулі для неоднорідного ультрагіперболічного рівняння з поліноміальною правою частиною. Процедура побудови розв’язку базується на апараті сферичних функцій та теорії гіпергеометричного рівняння Гаусса. При цьому шукана функція та відома права частина досліджуваного рівняння розкладаються в ряд Фур’є за сферичними гармоніками, які є власними функціями оператора Лапласа-Бельтрамі. Зазначене розкладання дозволяє привести вихідне ультрагіперболічне рівняння до звичайного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку. Відповідне однорідне рівняння за допомогою підстановки перетворюється на гіпергеометричне рівняння Гаусса, дослідження якого полягає у детальному аналізі так званого виродженого випадку, коли розв’язок може бути виражений через будь-які два з 24 рядів Куммера. Складнощі доведення гладкості розв’язку задачі Діріхле для ультрагіперболічного рівняння пов’язані з тим, що кожен наступний член формального ряду виражається через попередній за допомогою громіздких рекурентних співвідношень.
Посилання
- Burskii, V. P., & Kyrychenko, E. V. (2008). Unique solvability of the Dirichlet problem in a ball for an ultrahyperbolic equation. Differential Equations, 44(4), 467–479 [in Russian].
- Burskii, V. P. (2002). Methods for studying boundary value problems for general differential equations. Kyiv: Naukova dumka [in Russian].
- Kurosh, A. G. (1968). Higher algebra course. Moscow: Nauka [in Russian].
- Kyrychenko, E. V. (2005). On the solution of a differential equation arising in the Dirichlet problem for an ultrahyperbolic equation in a ball. Proceedings of IAMM NASU, 10, 59–71 [in Russian].
- Bateman, G., & Erdeyi, A. (1965). Higher transcendental functions. Hypergeometric function. Legendre functions. Moscow: Nauka [in Russian].
- Kamke, E. (1971). Handbook of ordinary differential equations. Moscow: Nauka [in Russian].
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2023 В. В. Кириченко, Є. В. Лесіна
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.