Алгоритм поліноміальної апроксимації розв’язків нелінійного диференціального рівняння Абеля

К. В. Божонок

doi:10.24144/2616-7700.2023.42(1).24-32

Автор(и)

К. В. Божонок Український державний університет ім. М. Драгоманова, Україна https://orcid.org/0000-0001-5396-7352

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2023.42(1).24-32

Ключові слова:

поліноміальна апроксимація, найкраще наближення, алгебраїчно-нелінійні рівняння, диференціальне рівняння Абеля, оптимальні алгоритми

Анотація

Розглядаються питання конструювання та теоретичного обґрунтування чисельно-аналітичного алгоритму поліноміальної апроксимації розв'язків задачі Коші для диференціального рівняння Абеля. Алгоритм ґрунтується на апроксимаційному методі В. К. Дзядика розв’язування лінійних диференціальних та інтегральних рівнянь, головною ідеєю якого є побудова такого наближеного розв'язку, який би як можна точніше задовольняв апроксимаційну теорему П. Л. Чебишева про характеризацію многочлена найкращого наближення. В роботі a-метод узагальнюється на рівняння з нелінійностями у вигляді поліномів. Доведена теорема про відхилення наближеного розв’язку від точного розв’язку поставленої задачі Коші у рівномірній та квадратичній метриках, отримані оцінки похибок. Алгоритм апробований на тестовій задачі. Обчислювальний експеримент ілюструє високу ефективність запропонованого алгоритму та теоретичних результатів.

Посилання

Dziadyk, V. K. (1988). Approximation Methods to Solve Differential and Integral Equations. Kyiv: Naukova Dumka [in Russian].

Havryliuk, I. P., & Makarov, V. L. (2004). Strongly Positive Operators and Numerical Algorithms without Accuracy Saturation. Kyiv: Institute of Mathematics National Academy of Sciences of Ukraine [in Russian].

Babenko, K. I. (1978). On the phenomenon of saturation in numerical analysis. Reports USSR Academy of Sciences, 241(3), 505–508 [in Russian].

Serhiienko, I. V. (2001). Methods of optimization and system analysis for problems of transcomputational complexity. Kyiv: Akademperiodika [in Ukrainian].

Ivanov, V. V. (1986). Calculation Methods Using Computers: A Handbook. Kyiv: Naukova Dumka [in Russian].

Bilenko, V. I., Bozhonok, K. V., Dzyadyk, S. Yu., & Stelya, O. B. (2018). Piecewise Polynomial Algorithms for the Analysis of Processes in Inhomogeneous Media. Cybernetics and Systems Analysis, 54(4), 636–642. https://doi.org/10.1007/s10559-018-0064-6

Bilenko, V. I., Bozhonok, K. V., & Dzyadyk, S. Yu. (2019). Piecewise-Polynomial Approximations for the Solutions of Impulsive Differential Equations. Ukrainian Mathematical Journal, 71(2), 190–201. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01638-3

Letichevskii, A. A., Denisenko, P. N., Bilenko, V. I., & Volkov, V. A. (1997). Implementation of numerical-analytical approximation methods for functions defined by ordinary differential equations. Cybernetics and Systems Analysis, 33(1), 108–112 [in Russian].

Ortiz, E. L., & Pham Ngoc Dinh, A. (1985). On the convergence of the tau method for nonlinear differential equations of Riccati’s type. Nonlinear Analysis. Theory, Methods, Applications, 9(1), 53–60. https://doi.org/10.1016/0362-546X(85)90052-5

Bozhonok, K. V. (2023). Iterative procedures for solving Abel’s nonlinear differential equation based on V. K. Dziadyk’s a-method. Actual problems of physics, mathematics, informatics and their teaching methods: Proceedings from ’23. Kyiv: Mykhailo Drahomanov State University, 10–12 [in Ukrainian].