Розширені бінарні коди Голея за груповою алгеброю групи C₃ × D₈
DOI:
https://doi.org/10.24144/2616-7700.2023.42(1).18-23Ключові слова:
групова алгебра, коди Голея, розширені бінарні коди, самодуальні коди, коди над полямиАнотація
Бінарні коди Голея вивчалися довгий період і було встановлено багато різних конструкцій для їх побудови, а також з'ясовано багато властивостей цих кодів. У статті розглянуто побудову розширених бінарних кодів Голея за головними ідеалами (лівими) груповою алгеброю F2(C3 × D8) групи (C3 × D8) порядку 24 над полем з двох елементів F2. Розглядається дія регулярного зображення v → σ(v) на елементах v групової алгебри. Рядки матриці σ(v) породжують лінійний бінарний код C(v). У попередніх дослідженнях з'ясовано кількість всіх елементів v групової алгебри F2 скінченних груп (C6 × C2) ⋊ C2 та D24 таких, що бінарний код C(v) є розширеним бінарним кодом Голея. Раніше таким способом розширений бінарний код Голея будувався за одним елементом v ∈ F2, що v = v*. В результаті числових обчислень знайдено всі 12 288 елементів v ∈ F2(C3 × D8), за якими можна побудувати розширений бінарний код Голея, серед яких 128 задовольняє умову v = v*.
Посилання
Golay, M. J. (1949). Notes on digital coding. Proc. I.R.E., 37(6), 657.
Hurley, T. (2006). Group Rings and Rings of Matrices. Int. Jour. Pure and Appl. Math, 31(3), 319–335.
Bernhardt, F. Landrock, P., & Manz, O. (1990). The extended Golay codes considered as ideals. J. Combin. Theory Ser. A, 55(2), 235–246.
Dougherty, S. T., Gildea, J., Taylor, R., & Tylyshchak, A. (2018). Group rings, G-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes. Designs, Codes and Cryptography, 86(9), 2115–2138. https://doi.org/10.1007/s10623-017-0440-7.
Bortos, M. Yu., & Tylyshchak, A. A. (2020). Extended binary Golay codes by a group algebra of one group. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Ser. Of Mathematics and Informatics, 1(36), 65–72.
Bortos, M. Y., Tylyshchak, A. A., & Khymynets, M. V. (2022). Extended binary Golay codes by a group algebra of dihedral group. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 40(1), 27–32.
Pless, V. (1968). On the uniqueness of the Golay codes. J. Combin. Theory, 5(3), 215–228.
Peng, X. H., & Farrell, P. G. (2006). On construction of the (24, 12, 8) Golay codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 8(52), 3669–3675.
Curtis, R. T. (2016). Error-correction and the binary Golay code. London Mathematical Society, 150(1), 51–58.
McLoughlin, I., & Hurley, T. (2008). A group ring construction of the extended binary Golay code. IEEE Trans. Inform. Theory, 9(54), 4381–4383.
McLoughlin, I. (2009). Dihedral codes. Retrieved from http://hdl.handle.net/10379/6401
Huffman, W. C., & Pless, V. (2003). Fundamentals of error-correcting codes. Cambridge University Press: Cambridge.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2023 М. Ю. Бортош, М. В. Химинець
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.
