Класифікація неізоморфних груп деякого класу черніковських 3-груп

Анотація

В цiй роботi описуються з точнiстю до iзоморфiзму деякi чернiкоськi 3-групи, що є циклiчними розширеннями повних абелевих 3-груп з умовою мiнiмальностi.

Нехай ℂ₃∞ — адитивна квазiциклiчна 3-група, а ℂⁿ₃∞ — зовнiшня пряма сума n екземплярiв квазiциклiчної 3-групи ℂ₃∞ для деякого натурального числа n. Добре вiдомо, що група Aut ℂⁿ₃∞ iзоморфна повнiй лiнiйнiй групi GL(n, ℤ₃), де ℤ₃ — кiльце цiлих 3-адичних чисел. Тому надалi для довiльної матрицi A ∈ GL(n, ℤ₃) та довiльного елемента c ∈ ℂⁿ₃∞ через A(c) позначатимемо образ елемента c при автоморфiзмi, що вiдповiдає матрицi A. Нехай {a_r | r ∈ ℕ₀} — множина всiх твiрних елементiв групи ℂⁿ₃∞, де ℕ₀ = ℕ ∪ {0}, причому 3a₀ = 0, 3a_r = a_r-1 для довiльного r ∈ ℕ.

Розглянемо циклiчну адитивну групу H порядку 27 з твiрним елементом h i деяке матричне зображення Γ цiєї групи степеня n над кiльцем ℤ₃. Образ будь-якого елемента h' групи H позначатимемо через Γ_h'. Визначимо дiю · групи H на групi ℂⁿ₃∞ за правилом h' · c = Γ_h' (c) для довiльних елементiв h' ∈ H i c ∈ ℂⁿ₃∞. Пiдкре-слимо, що ядро Ker Γ є пiдгрупою стабiлiзатора кожного елемента iз ℂⁿ₃∞. Нескладно переконатися, що множина

A(ℂⁿ₃∞, H, Γ) = {c ∈ ℂⁿ₃∞ | h · c = c}

є пiдгрупою групи ℂⁿ₃∞. Для матричного зображення Γ групи H та деякого елемента c ∈ A(ℂⁿ₃∞, H, Γ) побудуємо групу G(Γ, c) наступним чином:

G(Γ, c) = H × ℂⁿ₃∞,

а бiнарна операцiя + задається так

(ih, c₁) + (jh, c₂) = ((i + j)h, μ_i,j + jh · c₁ + c₂),

де i, j ∈ {0, 1, . . . , 26}, c₁, c₂ ∈ ℂⁿ₃∞,

Вiдомо, що таким чином побудована група є циклiчним розширенням групи ℂⁿ₃∞ за допомогою групи H, а як наслiдок, є чернiковською 3-групою.

В роботi описанi з точнiстю до iзоморфiзму всi чернiковськi 3-групи, фактор-група яких за максимальною повною абелевою пiдгрупою є циклiчною групою порядку 27 i якi визначаються матричним ℤ₃-зображенням [3]

де ῆ — незвiдна ℤ₃-матриця 18-го порядку вигляду