Слабкі розв'язки стохастично збурених параболічних рівнянь зі швидко зростаючими зовнішніми збуреннями

Автор(и)

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2024.45(2).83-96

Ключові слова:

процес Вінера, лапласіан, еліптичність, простір Соболева, крайова задача

Анотація

В данiй роботi вивчаються стохастичнi еволюцiйнi рiвняння у нескiнченновимiрних просторах. Цi рiвняння є математичними моделями реальних процесiв природознавства iз розподiленими параметрами i таких, що у процесi своєї еволюцiї зазнають впливу випадкових факторiв. Данi фактори можна розглядати як сумарний результат великої кiлькостi незалежних у сукупностi випадкових величин. Тодi, у силу центральної граничної теореми, отримаємо, що випадковi збурення описуються нескiнченновимiрним процесом бiлого шуму, що приводить до стохастичних рiвнянь Iтовського типу. Характерним прикладом таких рiвнянь є стохастичнi параболiчнi рiвняння iз нелiнiйним зносом. Головним диференцiальним оператором тут є, як правило, оператор другого порядку елiптичного типу. Вiдомi ранiше результати стосувались iснування та єдиностi слабких розв’язкiв таких рiвнянь за умови степеневого росту нелiнiйностей та деяких умов монотонностi. Однак у застосуваннях часто трапляється нелiнiйностi експоненцiального росту, наприклад, добре вiдоме рiвняння Франка–Каменського.

В данiй роботi отриманi умови iснування, єдиностi та неперервної залежностi слабких розв’язкiв вiд правих частин та початкових даних. При цьому нелiнiйностi можуть допускати рiст вище степеневого. Також для розв’язкiв отриманi оцiнки у спецiальних Соболiвських нормах.

Біографії авторів

О. В. Капустян, Київський національний університет ім. Т. Шевченка

Завідувач кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь. Доктор фізико-математичних наук, професор

А. О. Станжицький, Інститут математики НАН України

Молодший науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань. Доктор філософії

О. М. Станжицький, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка

Завідувач кафедри загальної математики. Доктор фізико-математичних наук, професор

Посилання

  1. McKean, H. P. (1970). Nagumo’s Equation. Advances in Mathematics, 4(3), 209–223. https://doi.org/10.1016/0001-8708(70)90023-X
  2. Dawcon, D. A. (1972). Stochastic Evolution Equations. Mathematical Biosciences, 15(3-4), 287–316.
  3. Vishik, M. I., & Chepyzhov, V. V. (2002). Attractors for Equations of Mathematical Physics. AMS. Providence: Rhode Island.
  4. Evans, L. C. (2010). Partial Differential Equations. AMS. University of California. Berkeley: CA, 19.
  5. Liu, W., & Rocher, M. (2015). Stochastic Partial Differential Equations: An Introduction. Springer International Publishing: Springer. Retrieved from https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-22354-4
  6. Liu, W., & Rockner, M. (2013). Local and Global Well-Posedness of SPDE with Generalized Coercivity Conditions. Journal of Differential Equations, 254(2), 725–755. https://doi.org/10.1016/j.jde.2012.09.014
  7. Frank-Kamenetskii, D. A., & Salnikov, I. E. (1943). Journal Physical Chemistry. 17(2), 79–86.
  8. Casas, E., & Wachsmuth, D. (2023). A note on existence of solutions to control problems of semilinear partial differential equations. SIAM Journal of Control and Optimization, 61(3), 1095–1112. https://doi.org/10.1137/22M1486418
  9. Casas, E., & Kunisch, K. (2023). Infinite Horizon Optimal Control for a General Class of Semilinear Parabolic Equations. Applied Mathematics & Optimization, 88(47), 46–84. https://doi.org/10.1007/s00245-023-10006-4
  10. Manthey, R., & Zausinger, T. (1999). Stochastic Evolution Equations in L₀²ᶹ. Stochastic Reports, 66(1-2), 37–85. https://doi.org/10.1080/17442509908834186
  11. Da Prato, G., & Zabczyk, J. (1992). Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press: Cambridge. https://doi.org/10.1017/CBO9781107295513
  12. Chow, P.-L. (2007). Stochastic Partial Differential Equations. Chapman Hall/CRC Applied Mathematics and Nonlinear Science Series. Chapman Hall/CRC : Boca Raton, FL. Retrieved from https://www.routledge.com/Stochastic-Partial-Differential-Equations/Chow/p/book/9780367453121?srsltid=AfmBOorpp6c3u2w_zCII7BB0N1hW6zGxdL_YWdgmp__vUzInGfvlDzlk
  13. Ondrejat, M. (2004). Uniqueness for Stochastic Evolution Equations in Banach spaces: (Doctor’s thesis). Institute of Mathematics of The Polish Academy of Sciences. Warsaw. https://doi.org/10.4064/dm426-0-1
  14. Skorokhod, A. (1984). Random Linear Operators. Institute of Mathematics: Kiev GSP. Retrieved from https://link.springer.com/book/9789027716699
  15. Lions, J. L. (1965). Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires. Dunod, Cauthier-Vallars: Paris.

##submission.downloads##

Опубліковано

2024-11-21

Як цитувати

Капустян, О. В., Станжицький, А. О., & Станжицький, О. М. (2024). Слабкі розв’язки стохастично збурених параболічних рівнянь зі швидко зростаючими зовнішніми збуреннями. Науковий вісник Ужгородського університету. Серія «Математика і інформатика», 45(2), 83–96. https://doi.org/10.24144/2616-7700.2024.45(2).83-96

Номер

Том 45 № 2 (2024)

Розділ

Математика та статистика

Ліцензія

Авторське право (c) 2024 О. В. Капустян, А. О. Станжицький, О. М. Станжицький

Creative Commons License

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.