Квадратичнi лексикографiчнi задачi оптимiзацiї i вiдображення Лагранжа

Анотація

В рiзних сферах науки i технiки майже будь-яка складна задача оптимального вибору, що виникає, є багатокритерiальною, оскiльки для пошуку найкращої альтернативи доводиться враховувати багато рiзних вимог, можливо навiть таких, що суперечать одна однiй. При цьому на практицi найбiльш часто використовуваними як критерiальнi є лiнiйнi та квадратичнi функцiї. Вони дозволяють досить адекватно описати дослiджуванi процеси i застосовувати для розв’язання таких задач вiдомi i вивченi алгоритми. Одними iз перших методiв, що використовувались для розв’язання багатокритерiальних задач оптимiзацiї були методи, в основi яких лежить пiдхiд зведення вхiдної задачi до однокритерiальної. Однак дана процедура в бiльшостi випадкiв призводить до серйозних змiн властивостей, якi має вхiдна задача, а отже, до невиправданої замiни багатокритерiальної моделi задачi однокритерiальною моделлю. Також не слiд забувати про обчислювальнi труднощi, що виникають при втратi основних властивостей вхiдної задачi, та про неможливiсть застосувати вiдомi алгоритми розв’язання вiдповiдних однокритерiальних задач. Тому актуальною залишається розробка методiв розв’язання векторних задач оптимiзацiї, в яких не втрачаються початковi властивостi критерiальних функцiй та функцiй обмежень. В однокритерiальнiй оптимiзацiї ряд алгоритмiв для пошуку екстремуму побудовано на використаннi апарату двоїстостi. Це питання представляє теоретичний та практичний iнтерес i для задач багатокритерiальної оптимiзацiї. В статтi дослiджуються опуклi квадратичнi задачi лексикографiчної оптимiзацiї на множинi, заданiй системою лiнiйних нерiвностей, та питання побудови двоїстих до них задач. Двоїстi задачi до початкової будуються за допомогою вiдображенням Лагранжа, де множники Лагранжа – це векторнi змiннi, множиною значень кожної з яких є множина векторiв простору, розмiрнiсть якого рiвна кiлькостi часткових критерiїв, iз введеним на ньому лексикографiчним порядком. Встановленi необхiднi та достатнi умови iснування й оптимальностi лексикографiчних розв’язкiв вхiдної задачi. Пропонується пiдхiд, що дозволяє звести розв’язання задачi лексикографiчної оптимiзацiї до послiдовностi систем нерiвностей i рiвнянь в лексикографiчному порядку. В основi лежить аналог схеми скаляризацiї та використання властивостей побудованого для векторної функцiї i обмежень вiдображення Лагранжа. Перспективною також є можливiсть побудови обчислювальних алгоритмiв для розв’язання лексикографiчної задачi квадратичної оптимiзацiї, в основi яких лежить двоїстий пiдхiд.