Про матричнi зображення наднапiвгруп напiвгрупи, породженої двома взаємно анульовними iдемпотентами

В. М. Бондаренко; О. В. Зубарук

doi:10.24144/2616-7700.2020.1(36).7-15

Автор(и)

В. М. Бондаренко Iнститут математики НАН України,, Україна https://orcid.org/0000-0002-5064-9452
О. В. Зубарук Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка,, Україна https://orcid.org/0000-0002-3620-4262

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.1(36).7-15

Ключові слова:

поле, наднапівгрупа, визначальні співвідношення, матричні зображення, ручна і дика напівгрупа, напівгрупа скінченного і нескінченного типів, канонічна форма

Анотація

Матричні зображення скінченних напівгруп над полями вивчені не в такій мірі, як зображення груп. Зображення скінченних груп над полями вивчені достатньо добре; зокрема, повністю визначено зображувальний тип для довільного поля. Якщо характеристика $p$ поля $K$ не ділить порядок групи (класичний випадок), група має,
з точністю до еквівалентності, скінченне число нерозкладних зображень;
така група називається групою скінченного зображувального типу над $K$.
Якщо ж характеристика $p$ ділить порядок групи (модулярний випадок), група має скінченний зображувальний тип лише тоді, коли її силовська $p$-підгрупа циклічна. В цьому випадку для більшості скінченних груп задача про опис їх зображень включає в себе задачу про класифікацію пар матриць з точністю до подібності. Такі групи називаються дикими, а групи, що допускають явний опис зображень, - ручними.Ручні та дикі групи в модулярному випадку повністю описав перший автор разом з Ю.~А.~Дроздом.

В теорії зображень напівгруп найбільша кількість робіт присвячена
незвідним зображенням. Серед старих результатів є лише окремі результати про напівгрупи скінченного зображувального типу, а саме для скінченної цілком простої напівгрупи (І. С. Понізовський) та деяких напівгруп всіх перетворень скінченної множини (І. С. Понізовський, К. Рінгель).
Щодо випадків, коли число нерозкладних зображень нескінченне, то найбільш відомими є результати з теорії зображень алгебр, які можна переформулювати в термінах зображень напівгруп: опис зображень алгебри
$<a,b\,|\,ab=ba=0>$ (І. М. Гельфанд, В. А. Пономарьов і Л. О. Назарова, А. В. Ройтер, В. В. Сергейчук, В. М. Бондаренко) та алгебри
$<a,b\,|\,a^2=b^2=0>$ (В. М. Бондаренко і К. Рінгель).

Якщо ж говорити не про окремі напівгрупи, а про класи напівгруп, то слід відзначити роботи про зображення напівгруп, породжених ідемпотентами з частковим нульовим множенням (В. М. Бондаренко, О. М. Тертична),
зображення напівгруп Ріса (С. М. Дяченко), напівгруп, породжених потентними елементами (В. М. Бондаренко, О. В. Зубарук) і зображення
прямих добутків симетричної напівгрупи другого степеня (В. М. Бондаренко, Е. М. Костишин). Такі напівгрупи можуть мати як скіченне, так і нескінченне число нерозкладних зображень.

В. М. Бондаренко і Я. В. Заціха описали зображувальні типи напівгруп третього порядку над полем і вказали канонічну форму матричних зображень для довільної напівгрупи скінченного зображувального типу. Ця стаття присвячена дослідженню аналогічних задач для наднапівгруп комутативних напівгруп.

Посилання

Tamura T. (1953) Some remarks on semi-groups and all types of semi-groups of order 2, 3. J. Gakugei Tokushima Univ. 3, 1–11.

Forsythe G. E. (1955). SWAC computes 126 distinct semigroups of order 4. Proc. Amer. Math. Soc., 6, 443–447.

Bondarenko V. M., & Zaciha Ja. V. (2013). Pro vyznachalni spivvidnoshennya dlya minimalnykh system tvirnykh napivhrup tretoho poryadku [On the defining relations for the minimal systems of generators of the third order semigroup]. Scientific journal of NPU named after M. P. Drahomanov, Series 1, Physics and Mathematics, 14, 62–67. [in Ukrainian]

Chotchaisthit S. (2014). Simple proofs determining all nonisomorphic semigroups of order 3. Appl. Math. Sci. (Ruse), 8, 1261–1269.

Bondarenko V. M., & Zaciha Ya. V. (2015). On characteristic properties of semigroups. Algebra Discrete Math., 20, 1, 32–39.

Bondarenko V. M., & Zaciha Ja. V. (2018). Kanonichni formy matrychnykh zobrazhen napivhrup maloho poryadku [Canonical forms of matrix representations of semigroups of small order]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University, ser. of mathematics, 32, 1, 36–49. [in Ukrainian]

Drozd Yu. A. (1977) Pro ruchni ta dyki matrychni problemy [On tame and wild matrix problems]. Matrix problems – Institute of Math. of AN of Ukrain.SSR, 104–114. [in Russian]

Bondarenko V. M., & Kostyshyn E. M. (2011). Modulyarni zobrazhennya napivhrupy T 2 [Modular representations of the semigroup T 2 ]. Scientific Bulletin of Uzhhorod University, ser. of mathematics and computer science, 22, 1, 26–34. [in Ukrainian]

Gelfand, I. M., & Ponomarev V. A. (1968) Nerozkladni zobrazhennya hrupy Lorentsa [Indecomposable representations of the Lorentz group]. Advances in Math. Sciences, 23, 2, 3–60. [in Russian]

Bondarenko V. M., Tertychna O. M., & Zubaruk O. V. (2016) On classification of pairs of potent linear operators with the simplest annihilation condition. Algebra Discrete Math. 21, 1, 18–23.

Nazarova L. A. (1973) Zobrazhennya kolchaniv neskinchennoho typu [Representations of quivers of infinite type]. Math. USSR Izvestija, 37, 4, 752–791. [in Russian]

Donovan P., & Freislich M. R. (1973) The representation theory of finite graphs and associated algebras. Carleton Lecture Notes, 5. 3–86.