Оцiнки кореляцiйної функцiї гауссового стацiонарного процесу, коли вiдомi його значення у скiнченнiй множинi точок

В. Б. Трошкi; Н. В. Трошкi; П. П. Товт

doi:10.24144/2616-7700.2020.1(36).30-40

Автор(и)

В. Б. Трошкi ДВНЗ "Ужгородський національний університет", Україна https://orcid.org/0000-0003-1309-1151
Н. В. Трошкi ДВНЗ "Ужгородський національний університет", Україна https://orcid.org/0000-0002-8152-5663
П. П. Товт ДВНЗ «Ужгородський нацiональний унiверситет, Україна https://orcid.org/0000-0001-6083-8591

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.1(36).30-40

Ключові слова:

статистика, гіпотеза, критерій, квадратично-гауссовий процес, $L_p$-метрика

Анотація

На практиці зазвичай значення процесу спостерігаються в певні моменти часу. І на основі цих даних потрібно робити висновки про поведінку процесу, за яким ведеться спостереження. Саме тому, першочерговою метою роботи є оцінка коваріаційної функції такого процесу.
Для цього в даній роботі розглянуто гауссовий стаціонарний випадковий процес $X$ із невідомим середнім, коли відомі його значення у скінченній множині точок та поставлено завдання оцінити коваріаційну функцію такого випадкового процесу.

Однією з особливостей оцінки кореляційної функції випадкового процесу при невідомому середньому значенні є те, що використання корелограмм в якості оцінки не є можливим, оскільки корелограмма в цьому випадку є зміщеною оцінкою кореляційної функції. Тому для доведення теорем потрібно було побудувати статистику, яка б була незміщеною оцінкою коваріаційної функції гауссового стаціонарного випадкового процесу. Крім цього, як показано в деяких наших попередніх роботах, так і в цій роботі, що при оцінці відхилень кореляційної функції гауссового стаціонарного випадкого процесу від корелограмми в $L_p$-метриці ми маємо справу вже не з гауссовими випадковими процесами, а з квадратично-гауссовивми. Тому для доведення цієї оцінки використано теорію квадратично-гауссових випадкових процесів. За допомогою цієї теорії отримано оцінки відхилень кореляційної функції гауссового стаціонарного випадкового процесу із невідомим середнім, коли відомі його значення у скінченній множині точок цього процесу від її оцінки в $L_p$-метриці.

В роботі також побудовано критерій для перевірки гіпотези про вигляд кореляційної функції такого випадкового процесу. Цей критерій вдалося сформулювати завдяки отриманим оцінкам.

Посилання

Buldygin, V. (1995). Properties of an empirical correlogram of a Gaussian process with squar-integrable spectral density. Ukrain. Math. J., 47(7), 1006-1024.

Buldygin, V., & Kozachenko, Yu. (2000). Metric characterization of random variables and random processes. Amer. Math. Soc., Providence, RI.

Buldygin, V., & Zayats, V. (1995). On asymptotic normality of estimates for correlation functions of stationary Gaussian processes in the spaces of continuous functions. Ukrain. Math.l J., 47(11), 1696-1710.

Ivanov, A. (1978). A limit theorem for the evaluation of the correlation function. Theor. Probability and Math. Statist, 19, 76-81.

Kozachenko, Yu., & Oleshko, T. (1993). Analytic properties of certain classes of pre-Gaussian stochastic processes. Theor. Probability and Math. Statist, 48, 37-51.

Kozachenko, Yu., & Stadnik, A. (1991). On the convergence of some functionals of Gaussian vectors in Orlicz spaces. Theor. Probability and Math. Statist, 44, 80-87

Kozachenko, Yu., & Stus, O. (1998) Square-Gaussian random processes and estimators of covariance functions. Math. Communications, 3(1), 83-94.

Kozachenko, Yu., & Troshki, V. (2015) A criterion for testing hypotheses about the covariance function of a stationary Gaussian stochastic process. Modern Stochastics: Theory and Applications, 2, 1-11.

Kozachenko, Yu., & Troshki, V. (2018). Construction of a criterion for testing hypothesis about covariance function of a stationary Gaussian stochastic process with unknown mean. 47(18), 4556-4567.

Kozachenko, Yu., & Fedoryanych, T. (2005). A criterion for testing hypotheses about the covarians function of a Gaussian stationary process. Theor. Probability and Math. Statist, 69, 85-94.

Leonenko, N.,& Ivanov, A. (1989). Statistical Analysis of Random Fields. Kluwer, Dordrecht.

Fedoryanych, T. (2004). One estimate of the correlation function for Gaussian stochastic process. Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kyiv. 2, 72-76.