Про квазiпервиннi диференцiальнi iдеали напiвкiлець

Анотація

Поняття квазiпервинного iдеалу було вперше введено в комутативних диференцiальних кiльцях, тобто комутативних кiльцях, якi розглядаються разом iз заданим на них диференцiюванням, як диференцiальний iдеал, максимальний серед диференцiальних iдеалiв, якi не перетинаються iз деякою мультиплiкативно-замкненою пiдмножиною кiльця. Поняття диференцiювання у напiвкiльцi традицiйно визначають як адитивне вiдображення, яке задовольняє правило Лейбнiца. У зв’язку з швидким розвитком теорiї напiвкiлець в останнi роки, виникла потреба у вивченнi iдеалiв, якi визначаються подiбними властивостями у напiвкiльцях. Ця стаття присвячена дослiдженню поняття квазiпервинного iдеалу в диференцiальних напiвкiльцях (якi означаються як напiвкiльця разом iз диференцiюванням, заданому на них), якi не обов’язково комутативнi. Метою статтi є показати, як квазiпервиннi iдеали пов’язанi з первинними диференцiальними iдеалами, примарними iдеалами, максимальними iдеалами та iншими типами iдеалiв у напiвкiльцях. Стаття складається з двох основних частин. У першiй частинi автор дослiджує деякi властивостi квазiпервинних диференцiальних iдеалiв, а також подає деякi приклади таких iдеалiв, зокрема первиннi диференцiальнi, максимальнi диференцiальнi та iдеали, якi можна отримати в результатi дiї оператора диференцiювання на первиннi iдеали напiвкiльця. У цiй частинi подано теорему, у якiй даються еквiвалентнi умови того, що квазiпервинний iдеал є первинним. У другiй частинi статтi розглядаються ланцюги квазiпервинних iдеалiв. У цiй частинi встановлено взаємозв’язки мiж квазiпервинними iдеалами та iншими типами диференцiальних iдеалiв напiвкiлець. В однiй з теорем подано характеризацiю таких iдеалiв у випадку комутативних напiвкiлець. У цiй характеризацiї використовуються поняття радикалу iдеалу напiвкiльця та оператор диференцiювання в напiвкiльцях. На завершення статтi подано теорему про те, що кожний ланцюг квазiпервинних iдеалiв напiвкiльця має точну верхню i точну нижню межу. Також доведено, що кожний квазiпервинний iдеал, який мiстить деякий диференцiальний iдеал, мiстить квазiпервинний iдеал, мiнiмальний серед усiх квазiпервинних iдеалiв даного напiвкiльця, якi мiстять вищезгаданий диференцiальний iдеал.