DOI: https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.2(37).45-53

До статті Басса і Пайка

В. Ю. Богданський, О. I. Клесов

Анотація


В 1984 роцi Р. Пайк та Р. Басс [1] запропонували вивчати рiвномiрнi по класу множин граничнi теореми для випадкових величин, якi залежать вiд множин з певного класу. У цiй роботi доводиться природне узагальнення теореми Басс-Пайка про рiвномiрний пiдсилений закон великих чисел для випадкових процесiв, iндексованих множинами. Замiсть сум випадкових величин по множинах, як у Басса–Пайка, ми розглядаємо бiльш загальну ситуацiю випадкових зарядiв та мiр. Оскiльки рiвномiрний закон великих чисел для випадкових зарядiв та мiр не може виконуватись для довiльного класу множин, то ми використовуємо умову Басса-Пайка про рiвномiрну малiсть мiри Лебега δ-околiв множин класу. У випадку випадкових зарядiв ми використовуємо додаткову умову про iснування мажорантної мiри. Цю умову у випадку випадкових мiр можна, звичайно, опустити. Метод доведення основного результату цiєї статтi в цiлому є модифiкацiєю методу Басса-Пайка. У рядi наслiдкiв основного результату ми наводимо вiдповiднi результати для конкретних ситуацiй. Зокрема, у наслiдку 2 ми показуємо як можна позбутися додаткової умови для випадкових зарядiв. У наслiдку 4 розглянуто випадок не обов’язково незалежних або однаково розподiлених випадкових величин. Виявляється, що замiсть цього можна лише припустити, що виконується не рiвномiрний пiдсилений закон великих чисел. Бiльше того, гранична константа у цьому результатi не обов’язково має бути невипадковою. Для такої ж постановки у наслiдку 5 показано як можна позбутися додаткової умови, яку ми накладаємо на випадковi заряди. Нарештi у наслiдку 6 розглянуто випадок, коли випадкова мiра породжується певним випадковим процесом. Ще один основний результат цiєї статтi стосується рiвномiрного пiдсиленого закону великих чисел для аналога процесу вiдновлення. Як i у випадку сум незалежних однаково розподiлених випадкових величин, цей результат справджується у припущеннi iснування першого моменту. Жодного результата стосовно такого узагальненого процесу вiдновлення ранiше вiдомо не було.

Ключові слова


посилений закон великих чисел, випадковий заряд, процес вiдновлення, рiвномiрний посилений закон великих чисел, випадковий процес, iндексований множинами

Повний текст:

PDF

Посилання


Bass, R. F., & Pyke, R. (1984). Strong Law of Large Numbers for Partial-Sum Processes Indexed by Sets. Ann. Probab., 12, 1, 268–271.

Klesov, O. Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables. (2014). Springer, Berlin–Heidelberg–New York.

Baum, L. E., Katz, M., & Stratton, H. H. (1971). Strong laws for ruled sums. Ann. Math. Statist., 42, 2, 625–629.

Klesov, O. I., & Molchanov, I. (2019). Uniform strong law of large numbers for random signed measures, in book Modern Mathematics and Mechanics: Fundamentals, Problems and Challenges (editors V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky). Switzerland:Springer International

Publishing AG, Cham. 335–350.

Bogdanskii, V. Y., Klesov, O. I., & Molchanov, I. Uniform Strong Law of Large Numbers. (2019). Methodol Comput. Appl. Probab. https://doi.org/10.1007/s11009-019-09711-x


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Copyright (c) 2020 Віктор Богданський