До статті Басса і Пайка

Автор(и)

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.2(37).45-53

Ключові слова:

посилений закон великих чисел, випадковий заряд, процес вiдновлення, рiвномiрний посилений закон великих чисел, випадковий процес, iндексований множинами

Анотація

В 1984 роцi Р. Пайк та Р. Басс [1] запропонували вивчати рiвномiрнi по класу множин граничнi теореми для випадкових величин, якi залежать вiд множин з певного класу. У цiй роботi доводиться природне узагальнення теореми Басс-Пайка про рiвномiрний пiдсилений закон великих чисел для випадкових процесiв, iндексованих множинами. Замiсть сум випадкових величин по множинах, як у Басса–Пайка, ми розглядаємо бiльш загальну ситуацiю випадкових зарядiв та мiр. Оскiльки рiвномiрний закон великих чисел для випадкових зарядiв та мiр не може виконуватись для довiльного класу множин, то ми використовуємо умову Басса-Пайка про рiвномiрну малiсть мiри Лебега δ-околiв множин класу. У випадку випадкових зарядiв ми використовуємо додаткову умову про iснування мажорантної мiри. Цю умову у випадку випадкових мiр можна, звичайно, опустити. Метод доведення основного результату цiєї статтi в цiлому є модифiкацiєю методу Басса-Пайка. У рядi наслiдкiв основного результату ми наводимо вiдповiднi результати для конкретних ситуацiй. Зокрема, у наслiдку 2 ми показуємо як можна позбутися додаткової умови для випадкових зарядiв. У наслiдку 4 розглянуто випадок не обов’язково незалежних або однаково розподiлених випадкових величин. Виявляється, що замiсть цього можна лише припустити, що виконується не рiвномiрний пiдсилений закон великих чисел. Бiльше того, гранична константа у цьому результатi не обов’язково має бути невипадковою. Для такої ж постановки у наслiдку 5 показано як можна позбутися додаткової умови, яку ми накладаємо на випадковi заряди. Нарештi у наслiдку 6 розглянуто випадок, коли випадкова мiра породжується певним випадковим процесом. Ще один основний результат цiєї статтi стосується рiвномiрного пiдсиленого закону великих чисел для аналога процесу вiдновлення. Як i у випадку сум незалежних однаково розподiлених випадкових величин, цей результат справджується у припущеннi iснування першого моменту. Жодного результата стосовно такого узагальненого процесу вiдновлення ранiше вiдомо не було.

Посилання

Bass, R. F., & Pyke, R. (1984). Strong Law of Large Numbers for Partial-Sum Processes Indexed by Sets. Ann. Probab., 12, 1, 268–271.

Klesov, O. Limit Theorems for Multi-Indexed Sums of Random Variables. (2014). Springer, Berlin–Heidelberg–New York.

Baum, L. E., Katz, M., & Stratton, H. H. (1971). Strong laws for ruled sums. Ann. Math. Statist., 42, 2, 625–629.

Klesov, O. I., & Molchanov, I. (2019). Uniform strong law of large numbers for random signed measures, in book Modern Mathematics and Mechanics: Fundamentals, Problems and Challenges (editors V. A. Sadovnichiy and M. Z. Zgurovsky). Switzerland:Springer International

Publishing AG, Cham. 335–350.

Bogdanskii, V. Y., Klesov, O. I., & Molchanov, I. Uniform Strong Law of Large Numbers. (2019). Methodol Comput. Appl. Probab. https://doi.org/10.1007/s11009-019-09711-x

##submission.downloads##

Опубліковано

2020-11-25

Як цитувати

Богданський, В. Ю., & Клесов О. I. (2020). До статті Басса і Пайка. Науковий вісник Ужгородського університету. Серія «Математика і інформатика», (2(37), 45–53. https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.2(37).45-53

Номер

Розділ

Математика та статистика