DOI: https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.2(37).54-65

Консистентнiсть оцiнки найменших квадратiв параметрiв тригонометричної моделi регресiї у присутностi лiнiйного випадкового шуму

О. В. Iванов, О. В. Митрофанова

Анотація


Регресiйний аналiз є iстотною частиною математичної та прикладної статистики. Нелiнiйний регресiйний аналiз є значним розширенням та ускладненням класичного лiнiйного регресiйного аналiзу, завдяки використанню нелiнiйних або частково нелiнiйних за параметрами моделей, якi адекватнiше описують, нiж лiнiйнi моделi, явища, що потребують статистичного аналiзу. Велика кiлькiсть прикладних проблем у численних наукових, технiчних та гуманiтарних галузях знань дають поштовх розвитку нелiнiйного регресiйного аналiзу. Задача оцiнювання векторного параметра сигналу в моделях спостереження «сигнал + шум» є добре вiдомою проблемою статистики випадкових процесiв, та у випадку нелiнiйного параметра сигналу – задачею нелiнiйного регресiйного аналiзу. Серед рiзноманiтностi задач нелiнiйного регресiйного аналiзу оцiнювання амплiтуд та кутових частот суми гармонiчних коливань, що спостерiгається на фонi випадкового шуму, займає значне мiсце, завдяки її численним застосуванням. Статистичнi моделi такого типу називаються тригонометричними моделями регресiї, а проблема статистичного оцiнювання її параметрiв називається задачею виявлення прихованих перiодичностей. Статтю присвячено вивченню тригонометричної моделi регресiї, в якiй випадковий шум є лiнiйним Левi-керованим стацiонарним четвертого порядку випадковим процесом iз нульовим середнiм, iнтегровную та iнтегровную з квадратом iмпульсною перехiдною функцiєю. Це припущення призводить до iнтегровностi коварiацiйної функцiї та кумулянтної функцiї 4-го порядку. Для оцiнювання амплiтуд та кутових частот такої тригонометричної моделi ми використовуємо оцiнки найменших квадратiв у сенсi Уолкера, тобто розглянуто спецiальну множину параметрiв, щоб розрiзнити належним чином рiзнi кутовi частоти в сумi гармонiчних коливань. У статтi доведено теорему про сильну консистентнiсть оцiнки найменших квадратiв за описаними вище припущеннями щодо випадкового шуму. Для отримання такого результату було доведено дуже важливу лему про рiвномiрну збiжнiсть майже напевно середнього значення перетворення Фурьє лiнiйного Левi-керованого випадкового процеса. Ця лема є головним iнструментом доведення теореми про сильну консистентнiсть. Для доведення теореми, по-перше, знаходимо деякi представлення оцiнок найменших квадратiв амплiтуд через вiдповiднi оцiнки кутових частот. По-друге, ми пiдставляємо цi формули у функцiонал методу найменших квадратiв. Останнiй крок доведення полягає у перетвореннi L2-норми рiзницi мiж емпiричною тригонометричною функцiєю регресiї та iстиною функцiєю регресiї таким чином, що ця норма прямує до нуля майже напевно тодi i тiльки тодi, коли оцiнки є сильно консистентними.

Ключові слова


Виявлення прихованих перiодичностей, оцiнка найменших квадратiв, консистентнiсть, Левi-керований лiнiйний випадковий процес.

Повний текст:

PDF (English)

Посилання


Serebrennikov, M. G., & Pervozvanskii, A. A. (1965). Vyiyavlenie skryityih periodichnostey [The detection of hidden periodicities]. Mosow:Nauka. [in Russian]

Artis, M., Hoffman, M., Nachane, D., & Toro J. (2004). The detection of hidden periodicities: a comparison of alternative methods. EUI Working paper ECO, 10, 26.

Quinn, B. G., & Hannan, E. J. (2001). The estimation and tracking of frequency. Cambridge Univ. Press.

Whitle, P. (1952). On the estimation of a time series harmonic components and covariance structure. Trabajos Estadistica, 3, 43–57.

Walker, A. M. (1973). On the estimation of a harmonic component in a time series with stationary dependent residuals. Adv. Appl. Probab., 5, 2, 217–241.

Hannan, E. J. (1973). The estimation of frequency. J. Appl. Probab., 10, 3, 510–519.

Ivanov, A. V. (1980). A solution of the problem of detecting hidden periodicities. Theor. Probab. Math. Statist., 20, 51–68.

Ivanov, A. V. (2010). Consistency of the least squares estimator of the amplitudes and angular frequencies of a sum of harmonic oscillations i models with long-range dependence. Theor. Probab. Math. Statist., 80, 61–69.

Ivanov, A. V., Leonenko, N. N., Ruiz-Medina, M. D., & Zhurakovsky, V. M. (2015). Estimation of harmonic component in regression with cyclically dependent errors. Statistics: A Journal of Theoretical and Applied Statistics, 49, 1, 156–186.

Ivanov, A. V., Leonenko, N. N., & Orlovsky, I. V. (2020). On the Whittle estimation for linear random noise spectral density parameterin continuous-time nonlinear regression models. Stat. Inference Stoch. Process, 23, 129–169.

Sato, K. (1999). Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambrige: Cambridge University Press.

Anh, V. V., Heyde, C. C., & Leonenko, N. N. (2002). Dynamic models of long-memory processes driven by Lévy nose. J. Appl. Prob., 39, 4, 730–747.

Rajput, B., & Rosinski, J. (1989). Spectral representations of infinitely divisible processes. Prob. Theory Rel. Fields, 82, 451–487.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Copyright (c) 2020 Ivanov A.V.