Умови рiвномiрної збiжностi вейвлет розкладiв випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω)

Ю. Ю. Млавець; О. О. Синявська

doi:10.24144/2616-7700.2020.2(37).82-90

Автор(и)

Ю. Ю. Млавець ДВНЗ "Ужгородський національний університет", Ukraine https://orcid.org/0000-0002-1480-9017
О. О. Синявська ДВНЗ “Ужгородський нацiональний унiверситет”, Ukraine https://orcid.org/0000-0002-2711-3940

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.2(37).82-90

Ключові слова:

Простори випадкових величин Fψ(Ω), мажоруюча характеристика, випадковi процеси, вейвлети, вейвлет розклади

Анотація

Ця стаття присвячена знаходженню умов рiвномiрної збiжностi з ймовiрнiстю одиниця вейвлет розкладiв класу випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω). Вивчення загальних властивостей таких випадкових процесiв, отримання оцiнок розподiлу функцiоналiв вiд процесiв з тих чи iнших просторiв випадкових величин, встановлення умов рiвномiрної збiжностi випадкових функцiональних рядiв є одними iз поширених задач теорiї випадкових процесiв. Вейвлет аналiз є достатньо молодою галуззю математики з багатьма цiкавими проблемами й задачами. Однак дану теорiю, зокрема вейвлет розклади функцiй, на даний час широко використовують як у теорiї випадкових процесiв, так i у рiзних областях науки. Наприклад, вейвлет аналiз активно застосовується для фiльтрацiї i попередньої обробки даних, аналiзу стану i прогнозування ситуацiї на фондових ринках, розпiзнавання образiв, при обробцi i синтезi рiзних сигналiв, зокрема при обробцi мовних сигналiв, бiомедичних сигналiв, для розв’язання завдань стиснення i обробки зображень, при навчаннi нейромереж i в багатьох iнших випадках. Тому є актуальною задача знаходження умов рiвномiрної збiжностi вейвлет розкладiв класу випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω). У данiй роботi ми зосереджуємося на основних властивостях просторiв Fψ(Ω) та деяких елементах теорiї вейвлетiв. На початку статтi наведено основнi означення, теореми, приклади випадкових величин з просторiв Fψ(Ω) та поняття i властивостi мажоруючої характеристики цього простору. Далi подано необхiднi вiдомостi з вейвлет аналiзу, зокрема: означення f-, m-вейвлетiв та умови S, а також умови розкладу функцiй по цим базисам. Також наведено умови рiвномiрної збiжностi з iмовiрнiстю одиниця вейвлет розкладiв деяких функцiй. Основним результатом статтi є умови рiвномiрної збiжностi вейвлет розкладiв випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω). Данi умови базуються на оцiнках розподiлу супремуму на R випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω) та рiвномiрної неперервностi сепарабельного вимiрного випадкового процесу X = {X(t), t ∈ R} з простору Fψ(Ω) на деякому вiдрiзку. Також, наведено приклади функцiй, для яких виконується одна iз умов теореми про оцiнку мажоруючої характеристики κ(n) простору Fψ(Ω)

Посилання

Polishchuk, V. (2018). Fuzzy Method for Evaluating Commercial Projects of Different Origin. Journal of Automation and Information Sciences, 50, 12, 60–73. DOI: 10.1615/JAutomatInfScien.v50.i5.60

Polishchuk, V. V., Malyar, M. M., Voloshyn, O. F., & Sharkadi, M.M. (2018). Informatsiine modeliuvannia nechitkykh znan [Information modeling of fuzzy knowledge]. Radioelektronika, informatyka, upravlinnia, 4, 84–95. DOI: 10.15588/1607-3274-2018-4-8 [in Ukrainian]

Mallat, S. (1988). A wavelet tour of signal processing. San Diego: Academic Press.

Meyer, Y. (1990). Ondelettes et Opérateurs. Paris: Hermann.

Daubechies, I. (1992). Ten lecture on wavelets. Philadelphia: Soc. Industrial and Appl. Math.

Chui, C. (1992). An introduction to wavelets. New York: Academic Press.

Härdle, W., Kerkyacharian, G., Picard, D., & Tsybakov, A. (1998). Wavelets, approximation and statistical applications. New York: Springer. DOI: 10.1007/978-1-4612-2222-4.

Kozachenko, Yu. V., & Perestyuk, M. M. (2007). On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables I. Ukrainian Mathematical Journal, 59, 12, 1850–1869. DOI: 10.1007/s11253-008-0030-y

Kozachenko, Yu. V., & Perestyuk, M. M. (2008). On the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from Orlicz spaces of random variables II. Ukrainian Mathematical

Journal, 60, 6, 876–900. DOI: 10.1007/s11253-008-0106-8

Kozachenko, Yu. V., & Mlavets, Yu. Yu. (2013). The Banach spaces Fψ(Ω) of random variables. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 86, 92–107. DOI: 10.1090/S0094-9000-2013-

-8

Ermakov, S. V., & Ostrovskyi, E. Y. (1986). Uslovija nepreryvnosti, jeksponencial’nye ocenki i central’naja predel’naja teorema dlja sluchajnyh polej [Conditions for the continuity, exponential bounds, and central limit theorem for random fields]. Dep. VINITI, 752-V.86.0., 42.

[in Russian].

Kozachenko, Yuriy, & Mlavets, Yuriy. (2014). Stochastic processes from Fψ(Ω) spaces. Contemporary Mathematics and Statistics, 2, 1, 55–75. DOI: 10.7726/cms.2014.1004

Kozachenko, Yu. V. (2004). Lektsii z veivlet analizu [Lectures on Wavelet Analysis]. Kyiv: TViMS. [in Ukrainian]

Dariychuk, I. V., Kozachenko, Yu. V., & Perestyuk, M. M. (2011). Vypadkovi protsesy z prostoru Orlicha [Stochastic processes from Orlicz space]. Chernivtsi: Zoloti lytavry. [in Ukrainian]

Mlavets, Yu. Yu. (2012). Pro rozpodil supremumiv pryrostiv vypadkovykh protsesiv z prostoriv Fψ(Ω) [On the distribution of supremums increments of stochastics processes from Fψ(Ω) spaces]. Naukovyi visnyk uzhhorodckoho universytetu. Seriia matematyka i informatyka, 23, 1,

–88. [in Ukrainian]