DOI: https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.2(37).101-113

Гомоморфiзми з умовою (*), якщо 2 – оборотний елемент

В. М. Петечук, Ю. В. Петечук

Анотація


Вивчення гомоморфiзмiв матричних груп над асоцiативними кiльцями розпочалося майже 100 рокiв тому роботами Шраєра i Ван-дер-Вардена i в подальшому розвивалися в працях Дьєдоне, Хуа Ло-гена, Райнера, О’Мiри, Хана, Ю.I. Мерзлякова, Уотерхауса, О.В. Мiхальова, Ю.I. Зельманова, I.З. Голубчика, В.М. Петечука та iнших авторiв. В основi вивчення знаходяться груповi властивостi повної лiнiйної групи GL(n, R) – множини всiх оборотних матриць над асоцiативним кiльцем R з 1. При n ≥ 3 у всiх вiдомих випадках, незважаючи на вiдмiннiсть методiв, якi застосовувалися, автоморфiзми повної лiнiйної групи виявлялись добутком стандартних автоморфiзмiв. Саме оборотнiсть елемента 2 давала можливiсть розглядати все бiльш широкi класи кiлець над якими можливий стандартний опис гомоморфiзмiв матричних груп. Якщо 2 – необоротний елемент, то при n ≥ 3 В.М. Петечук зробив опис автоморфiзмiв групи GL(n, R) у випадку, коли R – комутативне локальне кiльце. Виявилося, що при n ≥ 4 всi автоморфiзми таких груп є добутком стандартних автоморфiзмiв, а при n = 3 їх можна виразити через стандартнi i деякий нестандартний автоморфiзми. Спираючись на цей результат, В.М. Петечук [2] отримав опис iзоморфiзмiв групи GL(n, R), n ≥ 3, якщо R – довiльне комутативне кiльце. Зокрема, вiн здiйснив опис гомоморфiзмiв Λ : P E (n, R) → P GL(m, K), m ≥ 3, n ≥ 3 таких, що ΛP E (n, R) = P H i H ⊇ E (m, K) над довiльними комутативними кiльцями R i K. I.З. Голубчик i О.В. Мiхальов [3], використовуючи системи iдемпотентiв, i незалежно Ю.I. Зельманов [4], використовуючи методи йорданових алгебр, отримали опис iзоморфiзмiв групи E (n, R), n ≥ 3, 2 ∈ R∗ на групу E (m, K), 2 ∈ K∗ над довiльними асоцiативними кiльцями R i K з 1. В.М. Петечук [5] зробив опис гомоморфiзмiв групи P E (n, R), n ≥ 3 в групу GL(m, K), m ≥ 2, 2 ∈ K∗ у випадку, коли нерухомi пiдмодулi деяких елементiв четвертого порядку збiгаються з нерухомими пiдмодулями їх квадратiв. З нього випливають результати I.З. Голубчика, О.В. Мiхальова i Ю.I. Зельманова. Розвиваючи технiку, пов’язану з iдемпотентами, I.З. Голубчик [6] здiйснив опис iзоморфiзмiв груп GL(n, R) i GL(m, K) при n, m ≥ 4 над асоцiативними кiльцями R i K. Виявилося, що вони допускають стандартний опис на групi E (n, R). Авторами В.М. Петечук, Ю.В. Петечук [7, 8] описанi гомоморфiзми з умовою (*) з чого зокрема випливає i опис iзоморфiзмiв повних лiнiйних груп над асоцiативними кiльцями. У данiй роботi удосконалюються i розширюються методи опису гомоморфiзмiв з умовою (*), якщо елемент 2 є оборотним в кiльцi K i n ≥ 3. Основним результатом роботи є наступна теорема. Нехай R i K – асоцiативнi кiльця з 1, 2 ∈ K∗ , E (n, R) ⊆ G ⊆ GL(n, R), n ≥ 3, W – лiвий K-модуль, гомоморфiзм Λ : G → GL(W) задовольняє умову (*). Тодi Λ має стандартний опис на групi E (n, R).

Ключові слова


асоцiативнi кiльця, 2 – оборотний елемент, гомоморфiзми лiнiйних груп, гомоморфiзми з умовою (*), iнволюцiї, елементарнi трансвекцiї, група елементарних трансвекцiй, формальнi матрицi, стандартнi гомоморфiзми

Повний текст:

PDF

Посилання


Petechuk, V.M., & Petechuk, Yu.V. (2020). Images by formal matrices of elements of matrix groups over associative rings. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 1(36), 16 – 29 [in Russian].

Petechuk, V.M. (1982). Automorphisms of matrix groups over commutative rings. Math. Noties, №.4, P. 539–547.

Golubchik, I.Z., & Mikhalev, A.V. (1983). Isomorphism of general linear groups over associative rings. Moscow Univ. Math. Bull. 38 (3), 73 – 85.

Zelmanov, Е.I. (1985). Isomorphism of linear groups over on associative rings. Siberian Math. J., 4 (26), 49 – 67.

Petechuk, V.M. (1989). Homomorphisms of linear groups over rings. Math.Noties, 2 (45), P. 83–94.

Golubchik, I.Z. (1992). Isomorphism of the General Linear Group GLn (R), n ≥ 4 over on associative Ring. Contemporary Mathematics, 131(1), P. 123–136.

Petechuk, V.M., & Petechuk, Yu.V. (2014). Homomorphisms of matrix groups over associative rings. Part I. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 2 (25), 152 – 171 [in Russian].

Petechuk, V.M., & Petechuk, Yu.V. (2015). Homomorphisms of matrix groups over associative rings. Part II. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Series of Mathematics and Informatics, 1 (26), 99 – 114 [in Russian].

Hahn, A.J., & O’Meara, O.T. (1989). The Classical Groups and K-Theory. Berlin : Springer, 578 p.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Copyright (c) 2020 В. М. Петечук, Ю. В. Петечук