Стійкість граничних режимів для загального випадку систем типу реакція-дифузія.

Автор(и)

DOI:

https://doi.org/10.24144/2616-7700.2022.41(2).48-60

Ключові слова:

система реакція-дифузія, система без єдиності розв'язку, стійкість від входу до стану, робастна стійкість, глобальний атрактор

Анотація

У цій статті ми розглядаємо стійкість граничних режимів для загального класу нелінійних розподілених математичних моделей, які називаються моделями реакції-дифузії. Системи реакції-дифузії природно виникають у багатьох застосуваннях. Наприклад, при математичному моделюванні в біології та у теорії передачі сигналів широко використовується модель ФітцХью–Нагумо (FitzHugh–Nagumo model), розподілений варіант якої є окремим випадком загальної системи реакції-дифузії. Досліджено проблему стійкості притягуючих множин для нескінченновимірної системи реакції-дифузії відносно обмежених зовнішніх сигналів (збурень). Функції взаємодії, а також нелінійні збурення не вважаються неперервними за Ліпшицем. Отже, ми не можемо очікувати єдиності розв’язку для відповідної початкової задачі, і ми повинні використовувати багатозначний напівгруповий підхід. Вважається, що незбурена система має глобальний атрактор, тобто мінімальну компактну рівномірно притягаючу множину. Основною метою дослідження є оцінка відхилення траєкторії збуреної системи від глобального атрактора незбуреної як функції величини зовнішніх сигналів. Таку оцінку можна отримати в рамках теорії стійкості входу до стану (ISS). У статті запропоновано новий підхід до отримання оцінок робастної стійкості атрактора у випадку багатозначного еволюційного оператора. Зокрема, доведено, що багатозначна напівгрупа, породжена слабкими розв’язками нелінійної системи типу реакції-дифузії, має властивість локальної ISS відносно атрактора незбуреної системи.

Посилання

Pichkur, V. V. (2019). Maximum sets of initial conditions in practical stability and stabilization of differential inclusions, in Modern Mathematics and Mechanics. Fundamentals, Problems and Challenges. (eds. Sadovnichiy, Victor A., Zgurovsky, Michael). Springer, 397–410. https://doi.org/10.1007/978-3-319-96755-4_20

Pichkur, V. V., Linder, Y. M., & Tairova, M. S. (2021). On the Practical Stability of Discrete Inclusions with Spatial Components. Journal of Mathematical Sciences (United States), 254(2), 280–286. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05304-7

Pichkur, V. V., & Linder, Ya. M. (2021). Practical Stability of Discrete Systems: Maximum Sets of Initial Conditions Concept. Understanding Complex Systems. Contemporary Approaches and Methods in Fundamental Mathematics and Mechanics. (eds. Sadovnichiy, Victor A., Zgurovsky, Michael). Springer, 381–394. https://doi.org/10.1007/978-3-030-50302-4_17

Garashchenko, F. G., & Pichkur, V. V. (2016). On Properties of Maximal Set of External Practical Stability of Discrete Systems. Journal of Automation and Information Sciences, 48(3), 46–53. https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i3.50

Temam, R. (1997). Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. AMS.

Chepyzhov, V. V., & Vishik, M. I. (2002). Attractors for equations of mathematical physics. AMS, Providence, RI.

Robinson, J. C. (2001). Infinite-dimensional dynamical systems. Cambridge University Press.

Melnik, V. S., & Valero, J. (1998). On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions. Set-Valued Analysis, 6, 83–111.

Kasyanov, P. O., Mel’nik, V. S., & Toscano, S. (2010). Solutions of Cauchy and periodic problems for evolution inclusions with multi-valued ωλ₀-pseudomonotone maps. Journal of Differential Equations, 249(5), 1258–1287.

Perestyuk, M. O., & Kapustyan, O. V. (2012). Long-time behavior of evolution inclusion with non-damped impulsive effects. Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, 56, 89–113.

Dashkovskiy, S., Kapustyan, O. V., & Romaniuk, I. V. (2017). Global attractors of impulsive parabolic inclusions. Discrete and Continuous Dynamical Systems, 22(4), 1875–1886.

Dashkovskiy, S., Feketa, P., Kapustyan, O., & Romaniuk, I. (2018). Invariance and stability of global attractors for multi-valued impulsive dynamical systems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 458(1), 193–218.

Kichmarenko, O., & Stanzhytskyi, O. (2018). Sufficient conditions for the existence of optimal controls for some classes of functional-differential equations. Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 18(2), 196–211.

Nakonechnyi, O. G., Kapustian, O. A., & Chikrii, O. A. (2019). Approximate Guaranteed Mean Square Estimates of Functionals on Solutions of Parabolic Problems with Fast Oscillating Coefficients Under Nonlinear Observations. Cybernetics and Systems Analysis, 55(4), 785–795.

Sontag, E. D. (1989). Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Transactions on Automatic Control, 34(3), 435–443.

Sontag, E. D., & Wang, Y. (1995). On characterizations of the input-to-state stability property. Systems & Control Letters, 24(4), 351–359.

Dashkovskiy, S., & Mironchenko, A. (2013). Input-to-state stability of infinite-dimensional control systems. Mathematics of Control, Signals and Systems, 25(1), 1–35.

Mironchenko, A. (2016). Local input-to-state stability: Characterizations and counterexamples. Systems & Control Letters, 87, 23–28.

Dashkovskiy, S., Kapustyan, O., & Schmid, J. (2020). A local input-to-state stability result w.r.t. attractors of nonlinear reaction–diffusion equations. Mathematics of Control, Signals and Systems, 32(3), 309–326.

Schmid, J., Kapustyan, O., & Dashkovskiy, S. (2021). Asymptotic gain results for attractors of semilinear systems. Mathematical Control and Related Fields.

Khalil, H. K. (2002). Nonlinear systems. Third edition. Prentice Hall, New Jersey.

Kapustyan, O. V., & Yusypiv, T. V. (2021). Stability to disturbances for the attractor of the dissipative PDE-ODE system. Nonlinear oscillations, 24(3). 336–341 [in Ukrainian].

Royden, H. I., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real Analysis (Fourth Edition). China Machine Press.

Laptiev, O., Shuklin, G., Savchenko, V., Barabash, O., Musienko, A., & Haidur, H. (2019). The Method of Hidden Transmitters Detection based on the Differential Transformation Model. International Journal of Advanced Trends in Computer Science and Engineering. November – December 2019, 8(6), 2840–2846. https://doi.org/10.30534/ijatcse/2019/26862019

##submission.downloads##

Опубліковано

2022-10-25

Як цитувати

Капустян, О. В., & Юсипів, Т. В. (2022). Стійкість граничних режимів для загального випадку систем типу реакція-дифузія. Науковий вісник Ужгородського університету. Серія «Математика і інформатика», 41(2), 48–60. https://doi.org/10.24144/2616-7700.2022.41(2).48-60

Номер

Розділ

Математика та статистика