DOI: https://doi.org/10.24144/2616-7700.2020.1(36).65-72

Розширені бінарні коди Голея за груповою алгеброю однієї групи

М. Ю. Бортош, О. А. Тилищак

Анотація


Розширені бінарні коди Голея є прикладом екстремальних бінарних самодуальних кодів типу ІІ (лінійних бінарних самодуальних кодів з відстаню Хемінга між довільними кодовими словами кратною $4$, що має найбільшу можливу мінімальну відстань Хемінга серед таких кодів з фіксованою розмірністю простору кодових слів та їх довжиною). Такі коди вивчалися довгий період і було встановлено багато різних конструкцій для побудови цих кодів. Крім того, розширені бінарні коди Голея можна легко одержати з бінарних кодів Голея і навпаки. А останні є досконалими і разом з бінарними кодами Хемінга дають всі можливі параметри нетривіальних бінарних досконалих кодів.

У статті розглядається конструкція лінійних бінарних кодів, зокрема, розширених бінарних кодів Голея за груповою алгеброю $\mathbb{F}_2G$ скінченної групи $G=(C_6 \times C_2)~\rtimes~C_2$ порядку $n=24$ над полем з двох елементів $\mathbb{F}_2$. Розширений бінарний код Голея визначається як будь-який бінарний лінійний код, для якого довжина кодових слів рівна 24, розмірність підпростору кодових слів -- 12, а мінімальна відстань Хемінга коду -- 8, тобто будь-який лінійний бінарний [24,12,8]-код. При дослідженні даних кодів застосовуємо елементи теорії зображень, зокрема розглядаємо регулярне зображення $v\to \sigma (v)$ алгебри $\mathbb{F}_2G$. Для даного елемента $v$ визначаємо бінарний код $C(v)$, як підпростір простору $\mathbb{F}_2^{n}$ породжений рядками матриці $\sigma (v)$. Було використано критерія самодуальних кодів $C(v)$ для довільної скінченної групи $G$ порядку 24 та знайдено легко вивірювані необхідні умови самодуальності бінарного коду $C(v)$ для елементів $v$ групової алгеброю $\mathbb{F}_2G$ групи $G=(C_6 \times C_2)~\rtimes~C_2$. В результаті числових обчислень, що передбачає перевірку знайдених необхідних умов, отримаємо кількість елементів $v\in\mathbb{F}_2G$, що $C(v)$ є самодуальним кодом.
Кількісні результати подані для порівняння з кількістю тих же елементів при умові $v=v^*$. Раніше в такому вигляді розширені бінарні коди Голея були знайдені тільки для елементів $v$, що $v=v^*$. При обчисленнях отримано всі 27 648 елементів $v$ групової алгебри $\mathbb{F}_2G$, що $C(v)$ є розширеним бінарним кодом Голея.


Ключові слова


групова алгебра; розширені бінарні коди; коди Голея; самодуальні коди; коди над полями

Повний текст:

PDF

Посилання


Hurley, T. (2006). Group Rings and Rings of Matrices. Int. Jour. Pure and Appl. Math, 31, no. 3, 319–335.

Berman, S. D. (1967). K teoryy hrupovykh kodov [On theory of group codes]. Kybernetyka, no. 1, 31-39. [in Russian]

Rains, E. M. (1998). Shadow Bounds for Self Dual Codes. IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, 134–139.

Golay, M. J. (1949). Notes on digital coding. Proc. I.R.E., 37 (6), 657.

Peng, X. H., & Farrell, P. G. (2006). On construction of the (24,12,8) Golay codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 8 (52), 3669–3675.

Kanemasu, M. (1999). Golay codes. MIT Undergraduate J. Math., 1, 95–99.

McLoughlin, I., & Hurley, T. (2008). A group ring construction of the extended binary Golay code. IEEE Trans. Inform. Theory, 9 (54), 4381–4383.

Huffman, W. C., & Pless, V. (2003). Fundamentals of error-correcting codes. Cambridge University Press, Cambridge

Bernhardt, F. Landrock, P., & Manz, O. (1990). The extended Golay codes considered as ideals. J. Combin. Theory Ser. A, 55, no. 2, 235 - 246.

Dougherty, S. T., Gildea, J.,Taylor, R., & Tylyshchak, A. (2018). Group rings, G-codes and constructions of self-dual and formally self-dual codes. Designs, Codes and Cryptography, 86 (9), 2115-2138. DOI: 10.1007/s10623-017-0440-7.

Zimmerman, K. H. (1994). Contribution to algebraic coding theory by means of modular representation theory. Bayreuther Math. Schr. 48. [in Germany]


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Copyright (c) 2020 М. Ю. Бортош, О. А. Тилищак