Розширені бінарні коди Голея за груповою алгеброю однієї групи

Анотація

Розширені бінарні коди Голея є прикладом екстремальних бінарних самодуальних кодів типу ІІ (лінійних бінарних самодуальних кодів з відстаню Хемінга між довільними кодовими словами кратною $4$, що має найбільшу можливу мінімальну відстань Хемінга серед таких кодів з фіксованою розмірністю простору кодових слів та їх довжиною). Такі коди вивчалися довгий період і було встановлено багато різних конструкцій для побудови цих кодів. Крім того, розширені бінарні коди Голея можна легко одержати з бінарних кодів Голея і навпаки. А останні є досконалими і разом з бінарними кодами Хемінга дають всі можливі параметри нетривіальних бінарних досконалих кодів.

У статті розглядається конструкція лінійних бінарних кодів, зокрема, розширених бінарних кодів Голея за груповою алгеброю $\mathbb{F}_2G$ скінченної групи $G=(C_6 \times C_2)~\rtimes~C_2$ порядку $n=24$ над полем з двох елементів $\mathbb{F}_2$. Розширений бінарний код Голея визначається як будь-який бінарний лінійний код, для якого довжина кодових слів рівна 24, розмірність підпростору кодових слів -- 12, а мінімальна відстань Хемінга коду -- 8, тобто будь-який лінійний бінарний [24,12,8]-код. При дослідженні даних кодів застосовуємо елементи теорії зображень, зокрема розглядаємо регулярне зображення $v\to \sigma (v)$ алгебри $\mathbb{F}_2G$. Для даного елемента $v$ визначаємо бінарний код $C(v)$, як підпростір простору $\mathbb{F}_2^{n}$ породжений рядками матриці $\sigma (v)$. Було використано критерія самодуальних кодів $C(v)$ для довільної скінченної групи $G$ порядку 24 та знайдено легко вивірювані необхідні умови самодуальності бінарного коду $C(v)$ для елементів $v$ групової алгеброю $\mathbb{F}_2G$ групи $G=(C_6 \times C_2)~\rtimes~C_2$. В результаті числових обчислень, що передбачає перевірку знайдених необхідних умов, отримаємо кількість елементів $v\in\mathbb{F}_2G$, що $C(v)$ є самодуальним кодом.
Кількісні результати подані для порівняння з кількістю тих же елементів при умові $v=v^*$. Раніше в такому вигляді розширені бінарні коди Голея були знайдені тільки для елементів $v$, що $v=v^*$. При обчисленнях отримано всі 27 648 елементів $v$ групової алгебри $\mathbb{F}_2G$, що $C(v)$ є розширеним бінарним кодом Голея.